[Função gama.] Mostre que para a função
valem as identidades:
e faça um gráfico de
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três identidades envolvendo a função de Lorentz
e desenhar o gráfico de
em função de
. Vamos usar conceitos de álgebra elementar e diferenciação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Partimos de
, então
Passo 3
Isolando a raiz, temos
o que é exatamente a identidade (i).
Passo 4
Agora derivamos
. Pelo regra da cadeia,
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
chega-se a
que é a identidade (ii).
Passo 6
Para (iii), calculamos
Passo 7
Usando
,
que é a identidade (iii).
Passo 8
O gráfico de
versus
é simétrico em
, vale
e cresce sem limite quando
. Abaixo um esboço qualitativo:
γ
↑ ∞ ∞
| / \
| / \
| / \
|_____/_____________\> v
-c 0 c
Resposta
As identidades são
•
,
•
,
•
.
O gráfico de
versus
é simétrico em
, com
e diverge para
quando
.