[Função gama.] Mostre que para a função
gamma(v)=1raiz1-v^2 / c^2
valem as identidades:
(i) gamma v=c raizgamma^2-1 ; (ii) c^2 d gamma=gamma^3 v d v ; (iii) d(gamma v)=gamma^3 d v
e faça um gráfico de gamma times v, para -c <= v <= c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três identidades envolvendo a função de Lorentz gamma(v)=1/raiz1-v^2/c^2 e desenhar o gráfico de gamma em função de v. Vamos usar conceitos de álgebra elementar e diferenciação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que gamma v = craizgamma^2-1. Partimos de gamma^2=1/(1-v^2/c^2), então
gamma^2-1=11-v^2/c^2-1=1-(1-v^2/c^2)1-v^2/c^2=v^2/c^21-v^2/c^2=v^2c^2,gamma^2

Passo 3

Isolando a raiz, temos
c^2(gamma^2-1)=v^2gamma^2Longrightarrow craizgamma^2-1=v,gamma,
o que é exatamente a identidade (i).

Passo 4

Agora derivamos gamma(v)=(1-v^2/c^2)^-1/2. Pelo regra da cadeia,
dgamma=-tfrac12(1-v^2/c^2)^-3/2cdotl(-2v/c^2r),dv=vc^2(1-v^2/c^2)^-3/2,dv=gamma^3vc^2,dv

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por c^2 chega-se a
c^2,dgamma=gamma^3v,dv,
que é a identidade (ii).

Passo 6

Para (iii), calculamos
d(gamma v)=gamma,dv+v,dgamma=gamma,dv+vl(gamma^3vc^2,dvr)

Passo 7

Usando v^2gamma^3/c^2=gamma^3(1-1/gamma^2)=gamma^3-gamma,
d(gamma v)=gamma,dv+(gamma^3-gamma),dv=gamma^3,dv,
que é a identidade (iii).

Passo 8

O gráfico de gamma versus v é simétrico em v=0, vale gamma(0)=1 e cresce sem limite quando vtopm c. Abaixo um esboço qualitativo:
   γ
   ↑         ∞     ∞
   |        /       \
   |       /         \
   |      /           \
   |_____/_____________\> v
      -c      0        c

Resposta

As identidades são
gamma v = craizgamma^2-1,
c^2,dgamma = gamma^3v,dv,
d(gamma v)=gamma^3,dv.
O gráfico de gamma versus v é simétrico em v=0, com gamma(0)=1 e diverge para +infty quando vtopm c.

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