[Intervalo invariante.]Considerando a invariância do intervalo
De
por transformações de Lorentz, mostre que:
(a) A ordem temporal entre dois eventos é a mesma em qualquer referencial inercial se e somente se os eventos podem, em algum referencial, ser ligados por um sinal que se propaga com velocidade menor ou igual a c. (Note que isso é necessário e suficiente para garantir a não violação de causalidade.)
(b) Se dois eventos ocorrem numa mesma posição em um determinado referencial S então a separação temporal entre eles, quando medida num referencial inercial arbitrário, pode assumir qualquer valor maior ou igual àquela medida em S.
© Se dois eventos ocorrem simultaneamente em um determinado referencial S então a separação espacial entre eles, quando medida num referencial inercial arbitrário, pode assumir qualquer valor maior ou igual àquela medida em S.

Passo 1

A questão trata da invariância do intervalo relativístico De. Vamos usar esse resultado e a transformação de Lorentz para classificar dois eventos em:
• Intervalo time–like ( De0), onde existe um referencial em que eles ocorrem no mesmo lugar e podem se ligar por um sinal de velocidade ≤ c.
• Intervalo light–like ( De), conexão a c.
• Intervalo space–like ( De), fora do cone de luz.
Precisaremos também da fórmula de dilatação de tempo e contração de comprimento.

Passo 2

Para mostrar (a), pegamos a transformação de Lorentz para o tempo entre dois eventos numa direção x:
De
onde gamma=1/raiz1-v^2/c^2. Observamos que o sinal de De é o mesmo de De para todo |v| se e só se
De= 0
i.e.
c^2De= 0
que é exatamente De=0. Concluímos que a ordem temporal é invariante ⇔ De=0, isto é, só eventos ligados por sinais com velocidade ≤ c mantêm causalidade.

Passo 3

Para (b), considere dois eventos que ocorrem no mesmo lugar em S, logo De. Ai:
De0
Este é um intervalo time–like e De em S é o tempo próprio De. Pela dilatação de tempo, em qualquer outro referencial:
De= De
ou seja, o tempo medido nunca é menor do que o tempo próprio.

Passo 4

Para ©, considere dois eventos simultâneos em S, isto é De mas De. Então:
De
é um intervalo space–like e De em S é a “distância própria”. Pela contração de comprimento, em outro referencial onde eles não são simultâneos, a separação espacial satisfaz:
De= De
logo a distância medida nunca é menor do que a distância própria.

Resposta

(a) A ordem temporal entre eventos é invariante ⇔ De=0, isto é, só se podem ligar por sinal com velocidade ≤c (time–like ou light–like).
(b) Para eventos no mesmo ponto em S (intervalo time–like), em qualquer outro referencial De=De.
© Para eventos simultâneos em S (intervalo space–like), em qualquer outro referencial De=De.

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