[Intervalo invariante.]Considerando a invariância do intervalo
por transformações de Lorentz, mostre que:
(a) A ordem temporal entre dois eventos é a mesma em qualquer referencial inercial se e somente se os eventos podem, em algum referencial, ser ligados por um sinal que se propaga com velocidade menor ou igual a c. (Note que isso é necessário e suficiente para garantir a não violação de causalidade.)
(b) Se dois eventos ocorrem numa mesma posição em um determinado referencial
então a separação temporal entre eles, quando medida num referencial inercial arbitrário, pode assumir qualquer valor maior ou igual àquela medida em
.
© Se dois eventos ocorrem simultaneamente em um determinado referencial
então a separação espacial entre eles, quando medida num referencial inercial arbitrário, pode assumir qualquer valor maior ou igual àquela medida em
.
(a) A ordem temporal entre dois eventos é a mesma em qualquer referencial inercial se e somente se os eventos podem, em algum referencial, ser ligados por um sinal que se propaga com velocidade menor ou igual a c. (Note que isso é necessário e suficiente para garantir a não violação de causalidade.)
(b) Se dois eventos ocorrem numa mesma posição em um determinado referencial
© Se dois eventos ocorrem simultaneamente em um determinado referencial
Passo 1
A questão trata da invariância do intervalo relativístico
. Vamos usar esse resultado e a transformação de Lorentz para classificar dois eventos em:
• Intervalo time–like ( ), onde existe um referencial em que eles ocorrem no mesmo lugar e podem se ligar por um sinal de velocidade ≤ c.
• Intervalo light–like ( ), conexão a c.
• Intervalo space–like ( ), fora do cone de luz.
Precisaremos também da fórmula de dilatação de tempo e contração de comprimento.
• Intervalo time–like (
• Intervalo light–like (
• Intervalo space–like (
Precisaremos também da fórmula de dilatação de tempo e contração de comprimento.
Passo 2
Para mostrar (a), pegamos a transformação de Lorentz para o tempo entre dois eventos numa direção
:
onde
. Observamos que o sinal de
é o mesmo de
para todo
se e só se
i.e.
que é exatamente
. Concluímos que a ordem temporal é invariante ⇔
, isto é, só eventos ligados por sinais com velocidade ≤ c mantêm causalidade.
Passo 3
Para (b), considere dois eventos que ocorrem no mesmo lugar em
, logo
. Ai:
Este é um intervalo time–like e
em
é o tempo próprio
. Pela dilatação de tempo, em qualquer outro referencial:
ou seja, o tempo medido nunca é menor do que o tempo próprio.
Passo 4
Para ©, considere dois eventos simultâneos em
, isto é
mas
. Então:
é um intervalo space–like e
em
é a “distância própria”. Pela contração de comprimento, em outro referencial onde eles não são simultâneos, a separação espacial satisfaz:
logo a distância medida nunca é menor do que a distância própria.
Resposta
(a) A ordem temporal entre eventos é invariante ⇔
, isto é, só se podem ligar por sinal com velocidade ≤c (time–like ou light–like).
(b) Para eventos no mesmo ponto em S (intervalo time–like), em qualquer outro referencial .
© Para eventos simultâneos em S (intervalo space–like), em qualquer outro referencial .
(b) Para eventos no mesmo ponto em S (intervalo time–like), em qualquer outro referencial
© Para eventos simultâneos em S (intervalo space–like), em qualquer outro referencial