2^prime prime Questão-|2,5|
Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infín longo de raio R com densidade volumar de carga constante p.
(a) Encontre a expressão do campo E a uma distancia r do cixo do cilindro r<R
(b) Encontre a expressão para o campo E a uma distância r>R (0,625)
(c) Se p=5,0 mu C / m^3 e R=20,0 cm, qual ć o campo clétrico a uma distância r=10
(d) a uma distância r=40 cm ? (0,625)

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro infinito de raio R com densidade volumétrica de carga constante p. Queremos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico E em função da distância radial r ao eixo do cilindro, nos casos (a) r<R e (b) r>R. Depois, nos itens (c) e (d), vamos calcular numericamente esses campos para p=5,0;muC/m^3 e R=20,0;cm nos pontos r=10,0;cm e r=40,0;cm.

Passo 2

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Pela simetria, o campo é radial, constante em módulo na superfície lateral, e não há fluxo pelas bases. A carga total envolvida é
Qrm enc = p times (volume) = p times pi r^2 L
A Lei de Gauss diz
Phi = oint Ecdot dA = E(r), (2pi r L) = Qrm encvarepsilon0

Passo 3

Para r<R substituímos Qrm enc=p,pi r^2 L. Então
E(r),2pi r L = p,pi r^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = p,r2,varepsilon0,
com direção radial para fora do cilindro.

Passo 4

Para r>R toda a carga do cilindro de raio R está envolvida, Qrm enc=p,pi R^2 L. Logo
E(r),2pi r L = p,pi R^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = p,R^22,varepsilon0,r,
novamente radial para fora.

Passo 5

Agora vamos aos cálculos numéricos. Temos
p = 5,0times10^-6,C/m^3, R = 0,20,m, varepsilon0 = 8,854times10^-12,C^2/(Ncdot m^2)
Para r=0,10,m<R,
E(0,10) = p,(0,10)2,varepsilon0 = 5,0times10^-6times0,102times8,854times10^-12 approx 2,82times10^4,V/m

Passo 6

Para r=0,40,m>R,
E(0,40) = p,R^22,varepsilon0,(0,40) = 5,0times10^-6times(0,20)^22times8,854times10^-12times0,40 approx 2,82times10^4,V/m

Resposta

(a) E(r)=p,r2varepsilon0 para r<R.
(b) E(r)=p,R^22varepsilon0,r para r>R.
(c) E(0,10,m)approx2,82times10^4,V/m
(d) E(0,40,m)approx2,82times10^4,V/m

Exercícios relacionados