é denominada função de Bessel de ordem 1.
(a) Encontre seu domínio.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
(c) Se seu SCA tiver funções de Bessel programadas, trace J_{1} na mesma tela das somas parciais na parte (b) e observe como as somas parciais aproximam J_{1}.
Passo 1
O enunciado dá a função de Bessel de ordem 1 definida pela série de potências
Pede-se:
(a) encontrar o domínio dessa função (ou seja, para quais x a série converge);
(b) traçar (plotar) as primeiras somas parciais na mesma tela;
(c) se o seu SCA/soft tiver a função de Bessel programada, traçar J_{1} na mesma tela das somas parciais do item (b) e observar como as somas parciais aproximam J_{1}.
Informações fornecidas: a expressão da série (acima). Não são fornecidos gráficos nem valores adicionais.
Passo 2
Vamos determinar o domínio (convergência) da série termo a termo. Para séries de potências costuma-se usar o teste da razão. Defina o n-ésimo termo (valor absoluto) da série por
Como (n+2)(n+1)\to\infty quando n\to\infty, o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}=0
para todo x fixo. Pelo teste da razão, se o limite é menor que 1 (aqui é 0), a série converge absolutamente. Portanto a série converge para todo x\in\mathbb{R} (na verdade em todo \mathbb{C}). Conclusão do domínio: todos os reais.
Breve intuição didática: os denominadores crescem como n! \cdot n! (muito rápido), então mesmo multiplicando por potências de x a série converge para qualquer x.
Passo 3
Agora vamos escrever as somas parciais. Defina a soma parcial de ordem N por
Para traçar as “primeiras somas parciais” é útil listar explicitamente os primeiros termos (fácil de fazer à mão na prova quando pedirem os primeiros termos ou avaliar em algum x).
Essas são as “primeiras somas parciais” pedidas. Na prática para plotar você escolherá alguns N (por exemplo N=0,1,2,3,4,6,8) e sobreporá as curvas S_{N}(x).
Passo 4
Como traçar as somas parciais na sua tela (instruções passo a passo com código): vou dar um código em Python que funciona em qualquer SCA/ambiente com Python + NumPy + Matplotlib. Se tiver SciPy, mostro também como traçar J_{1} exato na mesma tela.
Python (recomendado):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial
# se tiver scipy:
try:
from scipy.special import j1 as scipy_j1
has_scipy = True
except:
has_scipy = False
def term(n, x):
return ((-1)**n) * x**(2*n+1) / (factorial(n)*factorial(n+1) * 2**(2*n+1))
def S_N(x, N):
s = 0.0
for n in range(N+1):
s += term(n, x)
return s
xs = np.linspace(-15, 15, 2000) # intervalo do plot; ajuste conforme quiser
plt.figure(figsize=(9,6))
# escolha dos N a plotar
Ns = [0,1,2,3,4,6] # primeiras somas parciais
for N in Ns:
ys = np.array([S_N(x, N) for x in xs])
plt.plot(xs, ys, label=f"S_{N}")
# se tiver scipy, plotar J1 exato
if has_scipy:
plt.plot(xs, scipy_j1(xs), 'k--', linewidth=2, label='J_1 (scipy)')
else:
# alternativa: aproximar J1 usando S_N com N grande
Ns_approx = 30
ys_approx = np.array([S_N(x, Ns_approx) for x in xs])
plt.plot(xs, ys_approx, 'k--', linewidth=2, label=f"J_1 approx S_{Ns_approx}")
plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('value')
plt.title('Somas parciais S_N(x) e J_1(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
Explicação prática: o código calcula S_{N}(x) termo a termo e sobrepõe as curvas. Se o seu SCA tiver uma função Bessel pronta (em Python é scipy.special.j1), o trecho scipy_j1(xs) plota a curva exata junto com as somas parciais.
Observação de uso: para valores grandes de |x| pode precisar de N maior para uma boa aproximação (a série converge mais lentamente para grandes |x|). Ajuste xs e Ns conforme necessidade.
Passo 5
Se você estiver usando MATLAB/Octave, aqui vai um esboço de como fazer o mesmo (se não tiver besselj no Octave, no MATLAB tem besselj(1,x)):
MATLAB/Octave:
xs = linspace(-15,15,2000);
Ns = [0 1 2 3 4 6];
figure; hold on
for k = 1:length(Ns)
N = Ns(k);
ys = zeros(size(xs));
for n = 0:N
ys = ys + ((-1).^n) .* xs.^(2*n+1) ./ (factorial(n).*factorial(n+1).*2.^(2*n+1));
end
plot(xs, ys, 'DisplayName', sprintf('S_%d',N));
end
% se tiver besselj:
y_j1 = besselj(1, xs);
plot(xs, y_j1, 'k--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'J_1 (besselj)');
legend show
grid on
xlabel('x'); ylabel('value'); title('Somas parciais S_N(x) e J_1(x)');
hold off
Passo 6
Para entender numericamente como as somas parciais aproximam J_{1}, vejamos um exemplo em x=1. Vou calcular passo a passo os primeiros termos numéricos (a forma fracionária e o valor decimal, para treinar a conta sem calculadora quando necessário).
Termos (usando as fórmulas dos passos anteriores):
n = 0: termo =\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
n = 1: termo =-\dfrac{x^{3}}{1!\,2!\,2^{3}}=-\dfrac{1}{16}=-0{,}0625.
Somando: S_{1}(1)=0{,}5-0{,}0625=0{,}4375.
n = 2: termo =+\dfrac{1}{2!\,3!\,2^{5}}=+\dfrac{1}{384}\approx 0{,}0026041667.
n = 4: termo =+\dfrac{1}{4!\,5!\,2^{9}}=+\dfrac{1}{1474560}\approx 0{,}0000006782.
Somando: S_{4}(1)\approx 0{,}4400507128.
Comparação com o valor exato (conhecido numericamente): J_{1}(1)\approx 0{,}4400505857. Vemos que já com N=4 estamos com erro da ordem de 10^{-7} em x=1. Isso mostra que para valores pequenos de x a série converge muito rápido.
Passo 7
Observações didáticas sobre a aproximação (o que você deve notar ao traçar):
As somas parciais S_{N}(x) são polinômios ímpares em x (graus 1,3,5,\dots). À medida que N aumenta, S_{N} se aproxima da curva J_{1}(x).
Para x pequeno a convergência é muito rápida (poucos termos bastam). Para x grande, a série exige mais termos para uma boa aproximação — então, ao plotar em um intervalo grande, ou use muitos termos na soma parcial aproximante ou limite o intervalo de plot para concentrar na região onde você quer precisão.
A série converge absolutamente para todo x, então a aproximação por somas parciais é válida para qualquer x; o que muda é a rapidez da convergência.
No gráfico você normalmente verá: curvas de baixa ordem (pequeno N) parecendo aproximações locais (boas perto de x=0) e, conforme N cresce, a curva polinomial acompanha mais os picos e vales de J_{1}.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
Para responder (a) use o teste da razão e escreva a simplificação que leva ao limite zero; conclua domínio \mathbb{R}.
Para (b) e (c) se pedirem só desenhar qualitativamente, desenhe S_{0},S_{1},S_{2},S_{3} por cima de J_{1}: comece em S_{0}(x)=x/2 e mostre como os termos de grau superior corrigem a curva. Se for pedir cálculo numérico, calcule S_{N}(x) somando termos até o termo seguinte ser menor que a precisão desejada (por exemplo 10^{-6}).
Se tiver tempo/recursos, usar um computador/ SCA com função Bessel (por ex. besselj(1,x) em MATLAB, scipy.special.j1 em Python) facilita muito a comparação.
(c) Instrução e observação: traçar J_{1}(x) (por exemplo com scipy.special.j1 em Python ou besselj(1,x) em MATLAB) na mesma tela das curvas S_{N} mostradas acima; ao comparar verá que as somas parciais se aproximam de J_{1} — para exemplo numérico em x=1 temos