Calcule o limite
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações relevantes dadas no enunciado:
Queremos o valor do quociente quando
cresce sem limite para
. Note que o numerador é um polinômio de grau
e o termo de maior grau no interior da raiz do denominador é
.
Passo 2
Estratégia básica (explicação didática): quando
os termos de menor grau ficam desprezíveis frente aos termos de maior grau. Para comparar corretamente numerador e denominador, vamos fatorar a maior potência de
que aparece de forma a reduzir a expressão a termos que tendem para constantes. Isso evita indeterminações e facilita o cálculo do limite. Antes de aplicar isso, lembre que para
temos
(porque a raiz quadrada de
é
e para
).
Passo 3
Fatoramos
no numerador e
dentro da raiz do denominador. Primeiro o numerador:
Agora o denominador:
Para
e
temos
, então
Passo 4
Substituindo as fatorações na razão e simplificando o fator
comum:
Passo 5
Agora aplicamos o fato básico de limites: para qualquer
,
quando
. Assim cada termo com potência negativa de
tende a zero. Logo o numerador da fração acima tende a
e o que está dentro da raiz do denominador tende a
. Pelo teorema do limite do quociente (e continuidade da raiz quadrada em valores positivos) temos
Comentário final para confiança: a simplificação funcionou porque o termo dominante do numerador e o termo dominante dentro da raiz do denominador têm graus que fazem a expressão da raiz ter ordem
, permitindo cancelar exatamente
. Além disso, como
mantemos
e não precisamos nos preocupar com o valor absoluto na raiz.