Calcule o limite \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+7 x+50}{\sqrt{5 x^{6}+31 x^{4}+6 x^{2}+4 x+1}}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3+7x+50}{\sqrt{5x^{6}+31x^{4}+6x^{2}+4x+1}}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{numerador: }x^3+7x+50,
\text{denominador: }\sqrt{5x^{6}+31x^{4}+6x^{2}+4x+1}.
Queremos o valor do quociente quando x cresce sem limite para +\infty. Note que o numerador é um polinômio de grau 3 e o termo de maior grau no interior da raiz do denominador é 5x^6.

Passo 2

Estratégia básica (explicação didática): quando x\to+\infty os termos de menor grau ficam desprezíveis frente aos termos de maior grau. Para comparar corretamente numerador e denominador, vamos fatorar a maior potência de x que aparece de forma a reduzir a expressão a termos que tendem para constantes. Isso evita indeterminações e facilita o cálculo do limite. Antes de aplicar isso, lembre que para x>0 temos \sqrt{x^6}=x^3 (porque a raiz quadrada de x^6 é |x^3| e para x\to+\infty |x^3|=x^3).

Passo 3

Fatoramos x^3 no numerador e x^6 dentro da raiz do denominador. Primeiro o numerador:
x^3+7x+50 = x^3\!\left(1+\frac{7x}{x^3}+\frac{50}{x^3}\right) = x^3\!\left(1+\frac{7}{x^2}+\frac{50}{x^3}\right).
Agora o denominador:
\sqrt{5x^{6}+31x^{4}+6x^{2}+4x+1} = \sqrt{x^6}\,\sqrt{5+\frac{31}{x^2}+\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^5}+\frac{1}{x^6}}.
Para x\to+\infty e x>0 temos \sqrt{x^6}=x^3, então
\sqrt{5x^{6}+31x^{4}+6x^{2}+4x+1} = x^3\sqrt{5+\frac{31}{x^2}+\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^5}+\frac{1}{x^6}}.

Passo 4

Substituindo as fatorações na razão e simplificando o fator x^3 comum:
\frac{x^3+7x+50}{\sqrt{5x^{6}+31x^{4}+6x^{2}+4x+1}} = \frac{x^3\!\left(1+\frac{7}{x^2}+\frac{50}{x^3}\right)}{x^3\sqrt{5+\frac{31}{x^2}+\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^5}+\frac{1}{x^6}}} = \frac{1+\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{50}{x^3}}{\sqrt{5+\dfrac{31}{x^2}+\dfrac{6}{x^4}+\dfrac{4}{x^5}+\dfrac{1}{x^6}}}.

Passo 5

Agora aplicamos o fato básico de limites: para qualquer k>0, \dfrac{1}{x^k}\to 0 quando x\to+\infty. Assim cada termo com potência negativa de x tende a zero. Logo o numerador da fração acima tende a 1 e o que está dentro da raiz do denominador tende a 5. Pelo teorema do limite do quociente (e continuidade da raiz quadrada em valores positivos) temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{50}{x^3}}{\sqrt{5+\dfrac{31}{x^2}+\dfrac{6}{x^4}+\dfrac{4}{x^5}+\dfrac{1}{x^6}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.
Comentário final para confiança: a simplificação funcionou porque o termo dominante do numerador e o termo dominante dentro da raiz do denominador têm graus que fazem a expressão da raiz ter ordem x^3, permitindo cancelar exatamente x^3. Além disso, como x\to+\infty mantemos x>0 e não precisamos nos preocupar com o valor absoluto na raiz.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}

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