é contínua em x=1. Informações dadas: a definição da função em dois ramos (um para x\le 1 e outro para 1<x\le 3). A pergunta única é: a função é contínua em x=1? É preciso justificar.]
Passo 2
Definição usada (explicada de forma simples): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se os três valores coincidirem:
o valor da função em a, isto é f(a);
o limite pela esquerda \lim_{x\to a^-} f(x);
o limite pela direita \lim_{x\to a^+} f(x).
Se todos esses três valores existirem e forem iguais, f é contínua em a. Se algum deles for diferente, não é contínua.
Vou então calcular (i) f(1), (ii) \lim_{x\to1^-} f(x) e (iii) \lim_{x\to1^+} f(x) e comparar.
Passo 3
Valor da função em x=1: como o enunciado define o ramo para x\le 1 igual a -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos diretamente
f(1) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Isso é porque para x=1 usamos o segundo caso da definição.
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to1^-} f(x): para x\le 1 a função é constante igual a -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, o valor permanece esse. Portanto
\lim_{x\to1^-} f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Já temos f(1) e o limite à esquerda iguais.
Passo 5
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to1^+} f(x): aqui usamos a expressão do ramo 1<x\le3,
f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}}.
Ao tentar pôr x=1 diretamente obtenho forma indeterminada \dfrac{0}{0}, pois \sqrt{1+3}-2=2-2=0 e \sqrt{3-1}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0. Então precisamos manipular algebricamente para simplificar. Vou racionalizar numerador e denominador seguindo passos claros.
Primeiro, escrevo o numerador em forma que destaque (x-1). Multiplico numerador e denominador do numerador pelo conjugado \sqrt{x+3}+2:
Agora que conseguimos uma expressão contínua (sem indeterminação) para f(x) quando x>1, calculamos o limite quando x\to1^+ substituindo x=1 nessa expressão: