A função f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}} & ; 1<x \leq 3 \\\ \frac{-\sqrt{2}}{2} & , x \leq 1\end{array}\right. é contínua em x=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}}, & 1<x\le 3,\\[6pt] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, & x\le 1 \end{cases}
é contínua em x=1. Informações dadas: a definição da função em dois ramos (um para x\le 1 e outro para 1<x\le 3). A pergunta única é: a função é contínua em x=1? É preciso justificar.]

Passo 2

Definição usada (explicada de forma simples): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se os três valores coincidirem:
  1. o valor da função em a, isto é f(a);
  2. o limite pela esquerda \lim_{x\to a^-} f(x);
  3. o limite pela direita \lim_{x\to a^+} f(x).
    Se todos esses três valores existirem e forem iguais, f é contínua em a. Se algum deles for diferente, não é contínua.
Vou então calcular (i) f(1), (ii) \lim_{x\to1^-} f(x) e (iii) \lim_{x\to1^+} f(x) e comparar.

Passo 3

Valor da função em x=1: como o enunciado define o ramo para x\le 1 igual a -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos diretamente
f(1) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Isso é porque para x=1 usamos o segundo caso da definição.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to1^-} f(x): para x\le 1 a função é constante igual a -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, o valor permanece esse. Portanto
\lim_{x\to1^-} f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Já temos f(1) e o limite à esquerda iguais.

Passo 5

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to1^+} f(x): aqui usamos a expressão do ramo 1<x\le3,
f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}}.
Ao tentar pôr x=1 diretamente obtenho forma indeterminada \dfrac{0}{0}, pois \sqrt{1+3}-2=2-2=0 e \sqrt{3-1}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0. Então precisamos manipular algebricamente para simplificar. Vou racionalizar numerador e denominador seguindo passos claros.
Primeiro, escrevo o numerador em forma que destaque (x-1). Multiplico numerador e denominador do numerador pelo conjugado \sqrt{x+3}+2:
\sqrt{x+3}-2 = \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{x+3-4}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}.
Assim
f(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}}{\sqrt{3-x}-\sqrt{2}} = \frac{x-1}{(\sqrt{x+3}+2)\,(\sqrt{3-x}-\sqrt{2})}.

Passo 6

Agora manipulo o fator \sqrt{3-x}-\sqrt{2} no denominador para expor também um fator (x-1). Multiplico e divido por o conjugado \sqrt{3-x}+\sqrt{2}:
\sqrt{3-x}-\sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3-x}-\sqrt{2})(\sqrt{3-x}+\sqrt{2})}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}} = \frac{3-x-2}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}} = \frac{1-x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}}.
Observe que 1-x=-(x-1). Portanto
\sqrt{3-x}-\sqrt{2} = -\frac{x-1}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}}.
Substituindo esse resultado no denominador de f(x) obtido em Passo 5:
f(x)=\frac{x-1}{(\sqrt{x+3}+2)\,\Big(-\dfrac{x-1}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}}\Big)} = \frac{x-1}{- (x-1)\,\dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}}}.
Para x>1 (região em que estamos calculando o limite pela direita) temos x-1\neq 0, então podemos cancelar o fator x-1, ficando
f(x) = -\,\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+3}+2},\qquad \text{para }1<x\le 3.

Passo 7

Agora que conseguimos uma expressão contínua (sem indeterminação) para f(x) quando x>1, calculamos o limite quando x\to1^+ substituindo x=1 nessa expressão:
\lim_{x\to1^+} f(x) = -\,\frac{\sqrt{3-1}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+3}+2} = -\,\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2+2} = -\,\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Comparando os três valores encontrados:
f(1) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \lim_{x\to1^-} f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \lim_{x\to1^+} f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Como valor da função em 1 e limites laterais coincidem, pela definição dada no Passo 2 concluímos que f é contínua em x=1.

Resposta

Sim. A função é contínua em x=1 e f(1)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

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