Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{5 n^{2}+4} para n=1,2,3,\dots. Não há mais dados adicionais.

Passo 2

Primeiro conceito importante (teste necessário para convergência): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral (a_n) deve tender a zero, isto é,
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Esse fato é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência de séries. Vou usar esse teste: calculamos \lim_{n\to\infty} a_n. Se o limite for diferente de zero, a série diverge automaticamente.

Passo 3

Calculemos o limite do termo geral. Escrevemos
a_n=\frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}.
Para obter o limite quando n\to\infty é útil dividir numerador e denominador por n^{2}:
a_n=\frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}=\frac{1}{5+\dfrac{4}{n^{2}}}.
Aqui eu dividi cada termo por n^{2}: \dfrac{n^{2}}{n^{2}}=1 no numerador e \dfrac{5n^{2}}{n^{2}}=5, \dfrac{4}{n^{2}} no denominador.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{4}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{5+\dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{5+0}=\frac{1}{5}.
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a \dfrac{1}{5}.

Passo 5

Conclusão pelo teste do termo geral: como \lim_{n\to\infty} a_n = \dfrac{1}{5}\neq 0, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Intuição: os termos não vão diminuindo para zero, ficam próximos de uma constante \dfrac{1}{5}, então somar esses termos infinitamente resulta em soma que cresce sem limite (parecido com somar 1/5+1/5+\cdots).

Resposta

A série diverge.

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