Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é
para
. Não há mais dados adicionais.
Passo 2
Primeiro conceito importante (teste necessário para convergência): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero, isto é,
Esse fato é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência de séries. Vou usar esse teste: calculamos
. Se o limite for diferente de zero, a série diverge automaticamente.
Passo 3
Calculemos o limite do termo geral. Escrevemos
Para obter o limite quando
é útil dividir numerador e denominador por
:
Aqui eu dividi cada termo por
:
no numerador e
,
no denominador.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Como
quando
, temos
Portanto o termo geral não tende a zero; tende a
.
Passo 5
Conclusão pelo teste do termo geral: como
, a série
não pode convergir. Intuição: os termos não vão diminuindo para zero, ficam próximos de uma constante
, então somar esses termos infinitamente resulta em soma que cresce sem limite (parecido com somar
).
Resposta
A série diverge.