Considerando a função
, definida por
, e, para cada
, determine seu valor máximo no conjunto:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. O conjunto onde queremos maximizar
é
com
fixo.
A pergunta é: para cada , qual é o valor máximo de
quando
varia em
, e em quais pontos esse máximo ocorre?
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: para cada
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Escolha do método e enunciado da ferramenta principal. Vou usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM), que é uma ferramenta simples e poderosa para esse tipo de problema. A desigualdade AM-GM para três números positivos afirma:
onde
. Aqui:
-
é a média aritmética dos três números; -
é a média geométrica dos três números; - a desigualdade diz que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica para números positivos;
- a igualdade ocorre se, e somente se,
.
Essa desigualdade é muito útil porque relaciona a soma (a restrição que temos) com o produto (que queremos maximizar).
Passo 3
Aplicando AM-GM ao nosso caso: como
e
, temos
Substituindo
obtemos
Passo 4
Elevando ambos os lados da desigualdade ao cubo (operações válidas porque ambos os lados são não negativos; aqui são estritamente positivos), temos
Isto é,
Portanto o produto
(que é
) não pode ser maior do que
para nenhum ponto de
.
Passo 5
Caso de igualdade e ponto onde ocorre o máximo. A desigualdade AM-GM atinge igualdade se, e somente se,
. Como
, a condição
implica
Esse ponto pertence a
porque
implica
. Logo o valor
é realmente atingido por
em
, no ponto
.
Passo 6
Unicidade e observações práticas. Pelo item anterior, a única forma de atingir o valor máximo dado pela AM-GM é ter
, logo o máximo é único e ocorre apenas em
. Observação rápida: pontos na “fronteira” onde alguma coordenada tende a
têm produto perto de
, portanto muito menores que o máximo encontrado — isso reforça que o máximo interior que achamos é o global em
.
Passo 7
Comentário de método (dica para prova). AM-GM foi escolhido porque é direto e usa só desigualdades elementares: dá o limite superior para o produto a partir da soma fixa. Em provas também é possível usar multiplicadores de Lagrange para obter o mesmo resultado; porém AM-GM é mais curto e costuma ser a escolha preferida quando todos os termos são positivos e a soma está fixa.
Resposta
O máximo de
em
é
, atingido no ponto
.