Considerando a função f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, definida por f(x, y, z)=x \cdot y \cdot z, e, para cada c>0, determine seu valor máximo no conjunto:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=c, x>0, y>0, z>0\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z. O conjunto onde queremos maximizar f é
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+z=c,\; x>0,\; y>0,\; z>0\},
com c>0 fixo.
A pergunta é: para cada c>0, qual é o valor máximo de f quando (x,y,z) varia em S, e em quais pontos esse máximo ocorre?
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{1. } f(x,y,z)=x y z.\\\ &\text{2. } x+y+z=c \text{ (restrição) }.\\\ &\text{3. } x,y,z>0 \text{ (positividade).}\\\ &\text{4. } c>0 \text{ (constante positiva).} \end{aligned}çã

Passo 2

Escolha do método e enunciado da ferramenta principal. Vou usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM), que é uma ferramenta simples e poderosa para esse tipo de problema. A desigualdade AM-GM para três números positivos afirma:
\frac{x+y+z}{3}\ge (xyz)^{1/3},
onde x,y,z>0. Aqui:
  • \frac{x+y+z}{3} é a média aritmética dos três números;
  • (xyz)^{1/3} é a média geométrica dos três números;
  • a desigualdade diz que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica para números positivos;
  • a igualdade ocorre se, e somente se, x=y=z.
Essa desigualdade é muito útil porque relaciona a soma (a restrição que temos) com o produto (que queremos maximizar).

Passo 3

Aplicando AM-GM ao nosso caso: como x,y,z>0 e x+y+z=c, temos
\frac{x+y+z}{3}\ge (xyz)^{1/3}.
Substituindo x+y+z=c obtemos
\frac{c}{3}\ge (xyz)^{1/3}.

Passo 4

Elevando ambos os lados da desigualdade ao cubo (operações válidas porque ambos os lados são não negativos; aqui são estritamente positivos), temos
\left(\frac{c}{3}\right)^{3} \ge xyz.
Isto é,
xyz \le \left(\frac{c}{3}\right)^{3}.
Portanto o produto xyz (que é f(x,y,z)) não pode ser maior do que \left(\dfrac{c}{3}\right)^3 para nenhum ponto de S.

Passo 5

Caso de igualdade e ponto onde ocorre o máximo. A desigualdade AM-GM atinge igualdade se, e somente se, x=y=z. Como x+y+z=c, a condição x=y=z implica
x=y=z=\frac{c}{3}.
Esse ponto pertence a S porque c>0 implica \dfrac{c}{3}>0. Logo o valor \left(\dfrac{c}{3}\right)^3 é realmente atingido por f em S, no ponto \left(\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3}\right).

Passo 6

Unicidade e observações práticas. Pelo item anterior, a única forma de atingir o valor máximo dado pela AM-GM é ter x=y=z, logo o máximo é único e ocorre apenas em \left(\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3}\right). Observação rápida: pontos na “fronteira” onde alguma coordenada tende a 0^+ têm produto perto de 0, portanto muito menores que o máximo encontrado — isso reforça que o máximo interior que achamos é o global em S.

Passo 7

Comentário de método (dica para prova). AM-GM foi escolhido porque é direto e usa só desigualdades elementares: dá o limite superior para o produto a partir da soma fixa. Em provas também é possível usar multiplicadores de Lagrange para obter o mesmo resultado; porém AM-GM é mais curto e costuma ser a escolha preferida quando todos os termos são positivos e a soma está fixa.

Resposta

O máximo de f em S é \left(\dfrac{c}{3}\right)^{3}, atingido no ponto \left(\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3},\dfrac{c}{3}\right).

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