A pergunta é: a função f é contínua em 1?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Para x>1 temos f(x)=1.
Para x\le 1 temos f(x)=2x.
Devemos decidir continuidade exatamente em x=1.]
Passo 2
Definição usada (explicada de forma didática): uma função f é contínua em um ponto a se o limite de f(x) quando x tende a a existe e é igual ao valor da função em a. Em símbolos:
f \text{ é contínua em } a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Para que \lim_{x\to a} f(x) exista, as duas limites laterais devem existir e ser iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Vou calcular as duas limites laterais em a=1 e comparar com f(1). Isso é a forma padrão e direta de verificar continuidade num ponto onde a função é definida por casos.
Passo 3
Cálculo do limite à direita (x\to1^+): para x>1 o enunciado diz que f(x)=1, ou seja, à direita de 1 a função é constantemente 1. Logo, ao aproximar x de 1 pela direita,
\lim_{x\to1^+} f(x)=1.
Explicando: qualquer sequência x_n com x_n>1 e x_n\to1 tem f(x_n)=1 para todo n, então a imagem tende a 1.
Passo 4
Cálculo do limite à esquerda (x\to1^-) e do valor f(1): para x\le 1 temos f(x)=2x, que é uma função linear. Ao aproximar x de 1 pela esquerda,
Como as duas limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe. Pelo critério de continuidade (o limite deve existir e ser igual a f(1)), a função não é contínua em 1.
Para tornar isso ainda mais concreto (um argumento tipo \varepsilon-\delta, mas simples): escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Se a função fosse contínua em 1 existiria \delta>0 tal que |f(x)-f(1)|<\tfrac{1}{2} sempre que |x-1|<\delta. Mas para qualquer \delta>0 podemos tomar x=1+\tfrac{\delta}{2} (que é >1 e |x-1|<\delta); então f(x)=1 e f(1)=2, logo |f(x)-f(1)|=1\ge\tfrac{1}{2}, contradição. Isso confirma a descontinuidade.
Passo 6
Recapitulando de forma amigável: à esquerda de 1 a função aproxima-se de 2; à direita de 1 aproxima-se de 1. Como esses dois números não são iguais, não há um único limite em 1, portanto a igualdade necessária à continuidade falha. Força aí — é normal confundir peças por partes, mas o truque é sempre checar os limites laterais e o valor no ponto.