Calcule
Passo 1
O problema pede que a gente calcule
onde a função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão a ser estudada é o produto de .
- A função
vale para todos os maiores que e vale para todos os menores ou iguais a . - O ponto de interesse é
aproximando-se de .]
Passo 2
Observação fundamental sobre
perto de
: como
, existe um entorno de
em que todos os pontos também são maiores que
, logo
nesse entorno. Para mostrar isso de modo concreto: escolha, por exemplo,
. Se
então
portanto, para todo
suficientemente próximo de
(por exemplo com
), vale
. Isso significa que, ao calcular o limite quando
, podemos tratar
como a constante
(porque na vizinhança relevante ele é exatamente
).
Passo 3
Agora calculemos a parte
. Polinômios são funções contínuas, o que significa que o limite quando
tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim,
Se preferir ver pela regra de limites:
, e subtraindo
obtemos
.
Passo 4
Usando a regra do limite do produto: se
e
com
finitos, então
. Aqui já vimos que
e, pela observação do Passo 2 (já que
é constante e igual a
numa vizinhança de
),
Portanto