Calcule \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-1\right) \cdot g(x)\), onde \(g(x)= \begin{cases}-2, & \text { se } x>1 \\\\ -1, & \text { se } x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O problema pede que a gente calcule
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot g(x),
onde a função g\) é dada por partes: \[g(x)=\begin{cases} -2, & \text{se } x>1,\\[4pt] -1, & \text{se } x\leq 1. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão a ser estudada é o produto de \bigl(x^{2}-1\bigr)\] por \(g(x).
  • A função g vale -2 para todos os x maiores que 1 e vale -1 para todos os x menores ou iguais a 1.
  • O ponto de interesse é x aproximando-se de 2.]

Passo 2

Observação fundamental sobre g perto de x=2: como 2>1, existe um entorno de 2 em que todos os pontos também são maiores que 1, logo g(x)=-2 nesse entorno. Para mostrar isso de modo concreto: escolha, por exemplo, \delta=\tfrac{1}{2}. Se |x-2|<\delta então
x>2-\tfrac{1}{2}=1{,}5>1,
portanto, para todo x suficientemente próximo de 2 (por exemplo com |x-2|<\tfrac{1}{2}), vale g(x)=-2. Isso significa que, ao calcular o limite quando x\to 2, podemos tratar g(x) como a constante -2 (porque na vizinhança relevante ele é exatamente -2).

Passo 3

Agora calculemos a parte \bigl(x^{2}-1\bigr). Polinômios são funções contínuas, o que significa que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim,
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-1\bigr)=2^{2}-1=4-1=3.
Se preferir ver pela regra de limites: \lim_{x\to 2} x^{2}=(\lim_{x\to 2} x)^{2}=2^{2}=4, e subtraindo 1 obtemos 3.

Passo 4

Usando a regra do limite do produto: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} h(x)=M com L,M finitos, então \lim_{x\to a} f(x)h(x)=LM. Aqui já vimos que
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-1\bigr)=3
e, pela observação do Passo 2 (já que g(x) é constante e igual a -2 numa vizinhança de 2),
\lim_{x\to 2} g(x)=-2.
Portanto
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot g(x)=3\cdot(-2)=-6.

Resposta

-6

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