A função maior inteiro, é a função definida em toda a reta real por
f(x)=\max \{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x\} .
Ou seja, dado um número x da reta real, f(x) é o maior número inteiro que seja menor ou igual que x.
a) Calcule f\left(\frac{1}{2}\right), f\left(-\frac{3}{2}\right), f(\pi).
b) Calcule f(n), \forall n \in \mathbb{Z}.
c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • A função é definida por f(x)=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}. Ou seja, para cada real x escolhemos o maior inteiro que não ultrapassa x.
  • Perguntas:
    (a) Calcular f\left(\frac{1}{2}\right), f\left(-\frac{3}{2}\right), f(\pi).
    (b) Calcular f(n) para todo n\in\mathbb{Z}.
    (c) Esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Entender a ideia prática da definição (uma mini-aula):
  • A expressão n\le x significa que estamos procurando inteiros que fiquem à esquerda de x na reta numérica.
  • Entre todos esses inteiros, escolhemos o maior. Esse maior é, por exemplo, para x=2{,}7 o inteiro 2; para x=-1{,}3 o inteiro -2.
  • Uma propriedade muito útil (que vem direto da definição) é: se k\in\mathbb{Z}, então para todo x com k \le x < k+1vale f(x)=k. Explico por quê: qualquer inteiro \le x é \le k, e k é um inteiro que satisfaz k\le x; não existe inteiro maior que k e \le x porque o próximo inteiro seria k+1>x. Logo o maior inteiro \le x é exatamente k.

Passo 3

Aplicando essa propriedade para calcular f\left(\frac{1}{2}\right):
  • Observa-se que 0 \le \frac{1}{2} < 1.
  • Pelo raciocínio do passo anterior, para todo x em [0,1) temos f(x)=0.
  • Portanto f\left(\frac{1}{2}\right)=0.

Passo 4

Calculando f\left(-\frac{3}{2}\right):
  • Note que -2 \le -\frac{3}{2} < -1 (pois -\tfrac{3}{2}=-1{,}5).
  • Pelo mesmo argumento, para x em [-2,-1) vale f(x)=-2.
  • Assim f\left(-\frac{3}{2}\right)=-2.

Passo 5

Calculando f(\pi):
  • Sabemos que \pi\approx 3{,}1415, portanto 3 \le \pi < 4.
  • Logo para x em [3,4) vale f(x)=3.
  • Assim f(\pi)=3.

Passo 6

Resposta para a parte (b): f(n) quando n é inteiro.
  • Tome n\in\mathbb{Z}. Pela definição, n é um inteiro e satisfaz n\le n.
  • Se existisse algum inteiro m com n<m\le n isso seria impossível (não há inteiro estritamente entre n e n). Portanto n é o maior inteiro \le n.
  • Consequentemente f(n)=n\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (parte (c)) — instruções passo a passo e explicação:
  • O gráfico é uma “função degrau” (também chamada função piso ou greatest integer / floor).
  • Para cada inteiro k desenhe um segmento horizontal na altura y=k que vai de x=k até x=k+1, incluindo x=k e excluindo x=k+1. Em linguagem de pontos: colocar um ponto fechado em (k,k) e um ponto aberto em (k+1,k).
  • Repetir isso para todos os inteiros k\in\mathbb{Z}. Assim obterá uma sequência de degraus de largura 1 e altura crescente de um degrau para o próximo.
  • Observações importantes sobre o gráfico:
    • Em cada intervalo [k,k+1) temos f(x)=k.
    • Nos pontos x=k (inteiros) a função toma o valor k (ponto fechado), mas o limite pela esquerda é k-1. Logo há um salto (discontinuidade de salto) em cada inteiro: \lim_{x\to k^-}f(x)=k-1 e \lim_{x\to k^+}f(x)=k=f(k).
    • A função é contínua em todos os pontos não inteiros e é direita-contínua em cada inteiro.
  • Dica prática para desenhar: marque na reta os inteiros \ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots. Em [0,1) desenhe o segmento horizontal em y=0 com ponto fechado em (0,0) e ponto aberto em (1,0). Em [1,2) desenhe o segmento em y=1 com ponto fechado em (1,1) e aberto em (2,1). Faça o mesmo à esquerda (por exemplo [-2,-1) em y=-2), e assim por diante.

Resposta

(a) f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0,\; f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-2,\; f(\pi)=3
(b) f(n)=n para todo n\in\mathbb{Z}
(c) Gráfico: função degrau com f(x)=k em [k,k+1) para cada k\in\mathbb{Z}; ponto fechado em (k,k) e ponto aberto em (k+1,k), com saltos unitários em cada inteiro.

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