A função maior inteiro, é a função definida em toda a reta real por
Ou seja, dado um número
da reta real,
é o maior número inteiro que seja menor ou igual que
.
a) Calcule
.
b) Calcule
.
c) Esboce o gráfico de
.
a) Calcule
b) Calcule
c) Esboce o gráfico de
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
- A função é definida por
. Ou seja, para cada real escolhemos o maior inteiro que não ultrapassa . - Perguntas:
(a) Calcular, , .
(b) Calcularpara todo .
(c) Esboçar o gráfico de.
Passo 2
Entender a ideia prática da definição (uma mini-aula):
- A expressão
significa que estamos procurando inteiros que fiquem à esquerda de na reta numérica. - Entre todos esses inteiros, escolhemos o maior. Esse maior é, por exemplo, para
o inteiro ; para o inteiro . - Uma propriedade muito útil (que vem direto da definição) é: se
, então para todo com vale . Explico por quê: qualquer inteiro é , e é um inteiro que satisfaz ; não existe inteiro maior que e porque o próximo inteiro seria . Logo o maior inteiro é exatamente .
Passo 3
Aplicando essa propriedade para calcular
:
- Observa-se que
. - Pelo raciocínio do passo anterior, para todo
em temos . - Portanto
Passo 4
Calculando
:
- Note que
(pois ). - Pelo mesmo argumento, para
em vale . - Assim
Passo 5
Calculando
:
- Sabemos que
, portanto . - Logo para
em vale . - Assim
Passo 6
Resposta para a parte (b):
quando
é inteiro.
- Tome
. Pela definição, é um inteiro e satisfaz . - Se existisse algum inteiro
com isso seria impossível (não há inteiro estritamente entre e ). Portanto é o maior inteiro . - Consequentemente
Passo 7
Como esboçar o gráfico (parte (c)) — instruções passo a passo e explicação:
- O gráfico é uma “função degrau” (também chamada função piso ou greatest integer / floor).
- Para cada inteiro
desenhe um segmento horizontal na altura que vai de até , incluindo e excluindo . Em linguagem de pontos: colocar um ponto fechado em e um ponto aberto em . - Repetir isso para todos os inteiros
. Assim obterá uma sequência de degraus de largura e altura crescente de um degrau para o próximo. - Observações importantes sobre o gráfico:
- Em cada intervalo
temos . - Nos pontos
(inteiros) a função toma o valor (ponto fechado), mas o limite pela esquerda é . Logo há um salto (discontinuidade de salto) em cada inteiro: e . - A função é contínua em todos os pontos não inteiros e é direita-contínua em cada inteiro.
- Em cada intervalo
- Dica prática para desenhar: marque na reta os inteiros
. Em desenhe o segmento horizontal em com ponto fechado em e ponto aberto em . Em desenhe o segmento em com ponto fechado em e aberto em . Faça o mesmo à esquerda (por exemplo em ), e assim por diante.
Resposta
(a)
(b) para todo
(c) Gráfico: função degrau com em
para cada
; ponto fechado em
e ponto aberto em
, com saltos unitários em cada inteiro.
(b)
(c) Gráfico: função degrau com