Usando deslocamenos horizontais, verticais, e as funções vistas em aula, esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{x+3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\sqrt{x+3} usando deslocamentos horizontais/verticais e as funções vistas em aula.
  • Informação dada: a própria expressão f(x)=\sqrt{x+3}.
  • Objetivos práticos para o esboço: determinar domínio, imagem (contradizendo “imagem” comumente chamada de alcance/valor), pontos importantes (interceptos e alguns pontos de referência), e regra de transformação a partir da função base g(x)=\sqrt{x}.

Passo 2

Relembrando a função base e suas propriedades (aula útil antes do deslocamento).
  • Função base: g(x)=\sqrt{x}.
  • Domínio de g: \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}=[0,\infty), porque dentro da raiz não pode ter número negativo.
  • Imagem de g: \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge 0\}=[0,\infty), pois raiz quadrada é não-negativa.
  • Pontos-chave de g: (0,0), (1,1), (4,2), (9,3). Esses pontos ajudam a traçar a curva.
  • Formato: curva crescente, com inclinação grande perto de x=0 e que vai ficando mais lenta (slope decresce). Matemática do slope: g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},que tende a +\infty quando x\to 0^+ (verticalidade inicial) e tende a 0^+ quando x\to\infty (achatamento).

Passo 3

Regra de deslocamento horizontal que vamos usar (a ideia da “aula”):
  • Para uma função base g(x), a função g(x-h) é o gráfico de g deslocado para a direita em h unidades.
  • Logo, g(x+h) é o gráfico de g deslocado para a esquerda em h unidades.
  • Em termos de pontos: se (x_0,y_0) está no gráfico de g, então (x_0-h,y_0) está no gráfico de g(x-h). Para g(x+h) o ponto correspondente é (x_0- h',y_0) com h'=-h — na prática substitui-se x por x+h e resolve-se x+ h = x_0\Rightarrow x=x_0-h.

Passo 4

Aplicando a regra à nossa função.
  • Podemos ver f(x)=\sqrt{x+3} como g(x+3) com g(x)=\sqrt{x}.
  • Pelo item anterior, isto significa: o gráfico de g deslocado 3 unidades para a esquerda.
  • Domínio de f: resolver x+3\ge 0 x\ge -3,logo o domínio é [ -3,\infty).
  • Imagem de f: como é apenas um deslocamento horizontal da raiz, os valores y continuam não-negativos: \text{imagem}=[0,\infty).

Passo 5

Encontrando pontos práticos para desenhar (peguei os pontos da função base e apliquei o deslocamento):
  • Pontos da base g: (0,0),\\ (1,1),\\ (4,2),\\ (9,3).
  • Para f(x)=g(x+3) cada ponto (x_0,y_0) vira (x_0-3,y_0). Assim obtemos: (-3,0),\quad (-2,1),\quad (1,2),\quad (6,3).
  • Interceptos úteis:
    • Intercepto x encontra-se em y=0\Rightarrow \sqrt{x+3}=0\Rightarrow x=-3. Então intercepto x é (-3,0).
    • Intercepto y em x=0\Rightarrow f(0)=\sqrt{0+3}=\sqrt{3}\approx 1,732. Então intercepto y é \bigl(0,\sqrt{3}\bigr).

Passo 6

Comportamento e forma da curva (como desenhar com confiança).
  • No ponto esquerdo extremo x=-3 temos y=0 e a derivada é grande: calcular derivadas de f: f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}},\qquad f''(x)=-\frac{1}{4(x+3)^{3/2}}.
  • Interpretação:
    • f'(x)\to +\infty quando x\to -3^+: a curva vem com uma “verticalidade” no início (tangente muito íngreme).
    • f'(x)>0 para todo x>-3: a função é estritamente crescente.
    • f''(x)<0 para todo x>-3: a curva é côncava para baixo (vai ficando mais “achatada” conforme x cresce).
  • Sem assíntotas horizontais/verticais além do fato do domínio começar em -3; para x\to\infty, f(x)\to\infty lentamente.

Passo 7

Passo a passo prático para desenhar no papel (guia de execução rápida na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto inicial (-3,0) — esse é o “início” do gráfico.
  3. Marque também (-2,1), (1,2) e (6,3) para ter referência de forma.
  4. Marque o intercepto em y: \bigl(0,\sqrt{3}\bigr) (aprox. 1,732).
  5. Una os pontos com uma curva suave que começa em (-3,0) com uma inclinação muito grande para cima e vai ficando cada vez mais plana à medida que avança para a direita, passando pelos pontos marcados.
  6. Interprete: curva crescente, começa em -3 e não existe para x<-3.

Passo 8

Resumo conceitual rápido (para memorizar o procedimento):
  • Identifique a função base (aqui \sqrt{x}).
  • Veja a forma \sqrt{x+3}=\sqrt{x-(-3)} → deslocamento horizontal de 3 unidades para a esquerda.
  • Ajuste domínio e marque pontos da base deslocados em x por -3.
  • Desenhe a curva com a concavidade e comportamento de inclinação explicados pelas derivadas.

Resposta

Domínio: [ -3,\infty)
Imagem: [0,\infty)
Interceptos: x-intercepto em (-3,0); y-intercepto em \bigl(0,\sqrt{3}\bigr) ( \approx(0,1,732)).
Pontos de referência para esboçar: (-3,0),\\ (-2,1),\\ (1,2),\\ (6,3).
Interpretação do gráfico: é o gráfico de \sqrt{x} deslocado 3 unidades para a esquerda; curva crescente, côncava para baixo, com tangente vertical no ponto inicial (-3,0).

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