Usando deslocamenos horizontais, verticais, e as funções vistas em aula, esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: esboçar o gráfico da função
usando deslocamentos horizontais/verticais e as funções vistas em aula. - Informação dada: a própria expressão
. - Objetivos práticos para o esboço: determinar domínio, imagem (contradizendo “imagem” comumente chamada de alcance/valor), pontos importantes (interceptos e alguns pontos de referência), e regra de transformação a partir da função base
.
Passo 2
Relembrando a função base e suas propriedades (aula útil antes do deslocamento).
- Função base:
. - Domínio de
: , porque dentro da raiz não pode ter número negativo. - Imagem de
: , pois raiz quadrada é não-negativa. - Pontos-chave de
: , , , . Esses pontos ajudam a traçar a curva. - Formato: curva crescente, com inclinação grande perto de
e que vai ficando mais lenta (slope decresce). Matemática do slope: que tende a quando (verticalidade inicial) e tende a quando (achatamento).
Passo 3
Regra de deslocamento horizontal que vamos usar (a ideia da “aula”):
- Para uma função base
, a função é o gráfico de deslocado para a direita em unidades. - Logo,
é o gráfico de deslocado para a esquerda em unidades. - Em termos de pontos: se
está no gráfico de , então está no gráfico de . Para o ponto correspondente é com — na prática substitui-se por e resolve-se .
Passo 4
Aplicando a regra à nossa função.
- Podemos ver
como com . - Pelo item anterior, isto significa: o gráfico de
deslocado 3 unidades para a esquerda. - Domínio de
: resolver dá logo o domínio é . - Imagem de
: como é apenas um deslocamento horizontal da raiz, os valores continuam não-negativos:
Passo 5
Encontrando pontos práticos para desenhar (peguei os pontos da função base e apliquei o deslocamento):
- Pontos da base
: . - Para
cada ponto vira . Assim obtemos: - Interceptos úteis:
- Intercepto
encontra-se em . Então intercepto é . - Intercepto
em . Então intercepto é .
- Intercepto
Passo 6
Comportamento e forma da curva (como desenhar com confiança).
- No ponto esquerdo extremo
temos e a derivada é grande: calcular derivadas de : - Interpretação:
-
quando : a curva vem com uma “verticalidade” no início (tangente muito íngreme). -
para todo : a função é estritamente crescente. -
para todo : a curva é côncava para baixo (vai ficando mais “achatada” conforme cresce).
-
- Sem assíntotas horizontais/verticais além do fato do domínio começar em
; para , lentamente.
Passo 7
Passo a passo prático para desenhar no papel (guia de execução rápida na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto inicial
— esse é o “início” do gráfico. - Marque também
, e para ter referência de forma. - Marque o intercepto em
: (aprox. ). - Una os pontos com uma curva suave que começa em
com uma inclinação muito grande para cima e vai ficando cada vez mais plana à medida que avança para a direita, passando pelos pontos marcados. - Interprete: curva crescente, começa em
e não existe para .
Passo 8
Resumo conceitual rápido (para memorizar o procedimento):
- Identifique a função base (aqui
). - Veja a forma
→ deslocamento horizontal de 3 unidades para a esquerda. - Ajuste domínio e marque pontos da base deslocados em
por . - Desenhe a curva com a concavidade e comportamento de inclinação explicados pelas derivadas.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Interceptos: -intercepto em
;
-intercepto em
(
).
Pontos de referência para esboçar: .
Interpretação do gráfico: é o gráfico de deslocado 3 unidades para a esquerda; curva crescente, côncava para baixo, com tangente vertical no ponto inicial
.
Imagem:
Interceptos:
Pontos de referência para esboçar:
Interpretação do gráfico: é o gráfico de