A função
descreve o movimento harmônico simples de um corpo de 100 g . Determine: (a) frequência angular, a frequência e o período do movimento oscilatório, (b) constante elástica da mola, (c) velocidade máxima e a aceleração máxima. Em
, quais são (d) 0 deslocamento, a velocidade e a aceleração do movimento?
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo em movimento harmônico simples:
e informa que a massa é
. As perguntas são:
(a) determinar a frequência angular, a frequência e o período do movimento;
(b) determinar a constante elástica da mola;
(c) determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) em , calcular o deslocamento, a velocidade e a aceleração.
(a) determinar a frequência angular, a frequência e o período do movimento;
(b) determinar a constante elástica da mola;
(c) determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) em
Informações extraídas do enunciado (lista clara):
Passo 2
Entendendo as quantidades do movimento harmônico simples (MHS) — fórmulas úteis e o que significam:
- A forma geral para MHS é
, em que: - A frequência linear
e o período relacionam-se com por:
Estas fórmulas vêm da definição de frequência: um ciclo completo é
radianos, então em
rad/s cada segundo o ângulo aumenta
; dividir por
dá ciclos por segundo.
Passo 3
Cálculo de
,
e
usando as fórmulas:
Agora a frequência:
E o período:
Passo 4
Explicando a constante elástica
e como obtê-la:
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação do movimento é
- A solução é harmônica com
. Portanto:
Isto vem de substituir
em
e comparar coeficientes.
Passo 5
Cálculo de
numericamente:
Logo
Calculando numericamente:
Passo 6
Velocidade e aceleração no MHS e máximos — teoria e fórmulas:
- Derivando
obtemos a velocidade: - Derivando novamente obtemos a aceleração:
- As amplitudes máxima em valor absoluto são:
Isto porque
e
.
Passo 7
Cálculo numérico de
e
:
Passo 8
Agora calculamos
,
e
. Primeiro a fase em
:
Colocando em denominador comum (
):
Reduzimos módulo
(observe que
). Subtraindo
obtemos
Sabemos os valores trigonométricos:
Passo 9
Usando esses valores trigonométricos para calcular
,
,
:
Observação: este valor é a metade de
porque
.
Resposta
(a)
,
,
(b)
(c) ,
(d) ,
,
(b)
(c)
(d)