A função \mathbf{x}(\mathbf{t})=(2 \mathrm{~cm}) \cos [(3 \pi / 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathbf{t}+\pi / 3 \mathrm{rad}] descreve o movimento harmônico simples de um corpo de 100 g . Determine: (a) frequência angular, a frequência e o período do movimento oscilatório, (b) constante elástica da mola, (c) velocidade máxima e a aceleração máxima. Em \mathbf{t}=5,0 \mathbf{s}, quais são (d) 0 deslocamento, a velocidade e a aceleração do movimento?

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em movimento harmônico simples:
\mathbf{x}(\mathbf{t})=(2\\ \mathrm{cm})\cos\!\left[\left(\tfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}\right)\mathbf{t}+\tfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad}\right]
e informa que a massa é 100\\ \mathrm{g}. As perguntas são:
(a) determinar a frequência angular, a frequência e o período do movimento;
(b) determinar a constante elástica da mola;
(c) determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima;
(d) em \mathbf{t}=5{,}0\\ \mathrm{s}, calcular o deslocamento, a velocidade e a aceleração.
Informações extraídas do enunciado (lista clara):
A = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}, \qquad m = 100\\ \mathrm{g} = 0,100\\ \mathrm{kg}, \qquad \text{fase inicial } \phi_0=\tfrac{\pi}{3}, \qquad \omega=\tfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}\\ (\text{aparece no cosseno}).

Passo 2

Entendendo as quantidades do movimento harmônico simples (MHS) — fórmulas úteis e o que significam:
  • A forma geral para MHS é \displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0), em que: A=\text{amplitude (metros)},\quad \omega=\text{frequência angular (rad/s)},\quad \phi_0=\text{fase inicial (rad)}.ê
  • A frequência linear f e o período T relacionam-se com \omega por: f=\dfrac{\omega}{2\pi},\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Estas fórmulas vêm da definição de frequência: um ciclo completo é 2\pi radianos, então em \omega rad/s cada segundo o ângulo aumenta \omega; dividir por 2\pi dá ciclos por segundo.

Passo 3

Cálculo de \omega, f e T usando as fórmulas:
\omega=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a frequência:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{\tfrac{3\pi}{2}}{2\pi}=\dfrac{3}{4}=0,75\\ \mathrm{Hz}.
E o período:
T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}333\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Explicando a constante elástica k e como obtê-la:
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação do movimento é m\ddot{x}+kx=0.
  • A solução é harmônica com \omega^2=\dfrac{k}{m}. Portanto: k=m\omega^2.
Isto vem de substituir x=A\cos(\omega t+\phi_0) em m\ddot{x}+kx=0 e comparar coeficientes.

Passo 5

Cálculo de k numericamente:
\omega^2=\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi^2}{4}.
Logo
k=m\omega^2=0{,}100\cdot\left(\dfrac{9\pi^2}{4}\right)\\ \mathrm{N/m}.
Calculando numericamente:
\omega^2\approx 22{,}2066099\\ \mathrm{(rad/s)^2}, \qquad k\approx 0{,}100\cdot 22{,}2066099\approx 2{,}22066\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Velocidade e aceleração no MHS e máximos — teoria e fórmulas:
  • Derivando x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0) obtemos a velocidade: v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\phi_0).
  • Derivando novamente obtemos a aceleração: a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi_0).
  • As amplitudes máxima em valor absoluto são: v_{\max}=A\omega,\qquad a_{\max}=A\omega^2.
Isto porque |\sin|\le 1 e |\cos|\le 1.

Passo 7

Cálculo numérico de v_{\max} e a_{\max}:
A=0{,}02\\ \mathrm{m},\qquad \omega=\dfrac{3\pi}{2}\approx 4{,}712389\\ \mathrm{rad/s}.
v_{\max}=A\omega=0{,}02\cdot 4{,}712389\approx 0{,}0942478\\ \mathrm{m/s}.
a_{\max}=A\omega^2=0{,}02\cdot 22{,}2066099\approx 0{,}4441322\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Agora calculamos x(5{,}0\\ \mathrm{s}), v(5{,}0\\ \mathrm{s}) e a(5{,}0\\ \mathrm{s}). Primeiro a fase em t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
\theta=\omega t+\phi_0=\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)\cdot 5+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{15\pi}{2}+\tfrac{\pi}{3}.
Colocando em denominador comum ( 6):
\tfrac{15\pi}{2}=\tfrac{45\pi}{6},\qquad \tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{6},
\theta=\tfrac{47\pi}{6}.
Reduzimos módulo 2\pi (observe que 2\pi=\tfrac{12\pi}{6}). Subtraindo 3\cdot \tfrac{12\pi}{6}=\tfrac{36\pi}{6} obtemos
\theta \bmod 2\pi = \tfrac{47\pi}{6}-\tfrac{36\pi}{6}=\tfrac{11\pi}{6}.
Sabemos os valores trigonométricos:
\cos\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right)=\cos\!\left(2\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right)=\sin\!\left(2\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}.

Passo 9

Usando esses valores trigonométricos para calcular x(5{,}0), v(5{,}0), a(5{,}0):
x(5{,}0)=A\cos(\theta)=0{,}02\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=0{,}02\cdot 0{,}8660254\approx 0{,}0173205\\ \mathrm{m}.
v(5{,}0)=-A\omega\sin(\theta)=-0{,}02\cdot 4{,}712389\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0{,}02\cdot 4{,}712389\cdot \dfrac{1}{2}\approx 0{,}0471239\\ \mathrm{m/s}.
Observação: este valor é a metade de v_{\max} porque \sin(\theta)=-\tfrac{1}{2}.
a(5{,}0)=-A\omega^2\cos(\theta)=-0{,}02\cdot 22{,}2066099\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}3849002\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) \omega=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}, f=0{,}75\\ \mathrm{Hz}, T=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{s}
(b) k\approx 2{,}22066\\ \mathrm{N/m}
(c) v_{\max}\approx 0{,}0942478\\ \mathrm{m/s}, a_{\max}\approx 0{,}4441322\\ \mathrm{m/s^2}
(d) x(5{,}0\\ \mathrm{s})\approx 0{,}0173205\\ \mathrm{m}, v(5{,}0\\ \mathrm{s})\approx 0{,}0471239\\ \mathrm{m/s}, a(5{,}0\\ \mathrm{s})\approx -0{,}3849002\\ \mathrm{m/s^2}

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