Na experiéncia Lei de Boyle, determinamos a variação da pressão de gás em função do volume do mesmo. O cilindro que estava a amostra possui um raio de 2,5 \mathrm{~cm} e um volume residual de 20 \mathrm{~cm}^{3}. A) Complete a tabela. B) Sabendo-se que a temperatura era de 28^{\circ} \mathrm{C} durante a experiência qual 0 número de mol da amostra de gás? C) Supondo o ar como um gás ideal, qual o trabalho total realizado sobre a amostra de gás nesta experiência? \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}
Presalo (Pa)
1,00 E+05 \mathrm{~h}(\mathrm{~cm}) Volume \left(\mathrm{m}^{3}\right) \mathrm{PV}(\mathrm{J})
1,10 E+05 2,00 E+01
1,20 E+05 1,76 E+01
1,30 E+05 1,61 E+01
1,40 E+05 1,47 E+01
1,50 E+05 1,27 E+01
1,60 E+05 1,17 E+01
1,70 E+05 1,11 E+01
1,80 E+05 1,04 E+01

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (A) completar a tabela com os volumes correspondentes a cada altura h e com os produtos PV; (B) calcular o número de mols da amostra sabendo T=28^\circ\mathrm{C}; (C) calcular o trabalho total realizado sobre o gás durante a experiência, supondo gás ideal.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • raio do cilindro: r=2,5\\ \mathrm{cm}.
  • volume residual: V_{\text{res}}=20\\ \mathrm{cm}^3.
  • temperatura: T=28^\circ\mathrm{C}. (Lembremos que T em Kelvin é T=28+273=301\\ \mathrm{K}.)
  • constante dos gases: R=8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • tabela: pressões e alturas (valores em Pa e em cm) — vou copiar os pares (Pressão, h):

    \, (1,10\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=2,00\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,20\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,76\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,30\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,61\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,40\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,47\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,50\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,27\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,60\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,17\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,70\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,11\times10^{1}\\ \mathrm{cm})
    \, (1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; h=1,04\times10^{1}\\ \mathrm{cm})

    Observação sobre a forma de calcular o volume: o cilindro tem seção circular de área A; supondo que a altura do gás seja h (coluna do pistão), o volume do gás é a área vezes a altura mais o volume residual. Não há imagem faltando — temos tudo que precisamos.

Passo 2

Calcular a área da seção circular do cilindro e passar todas as unidades para o SI (m, m^2, m^3). A fórmula da área de um círculo é
A = \pi r^2,
onde r é o raio. Convertendo o raio para metros: r=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}. Assim
A = \pi(0,025)^2 = \pi \cdot 0,000625 = 0,0019634954\\ \mathrm{m}^2.
Vou manter A=0,0019634954\\ \mathrm{m}^2 e arredondar resultados finais quando preciso. O volume residual em SI é
V_{\text{res}}=20\\ \mathrm{cm}^3 = 20\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 2,0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Escrever a fórmula que vamos usar para cada linha da tabela. Para cada altura h (em metros) o volume é
V = A\cdot h + V_{\text{res}}.
Explicando as variáveis: A é a área da seção ( \mathrm{m}^2), h é a altura da coluna de gás ( \mathrm{m}), V_{\text{res}} é o volume residual ( \mathrm{m}^3). O produto PV em joules é P (Pa) multiplicado por V (m^3).

Passo 4

Converter as alturas dadas em cm para metros e calcular os volumes V (em \mathrm{m}^3) linha a linha. Vou mostrar cada conta de forma didática.
Linha 1: h=2,00\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
V = A\cdot h + V_{\text{res}} = 0,0019634954\cdot0,20 + 2,0\times10^{-5} = 0,00039269908 + 0,00002 = 0,00041269908\\ \mathrm{m}^3.
Escrevendo em notação conveniente:
V = 4,1270\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 2: h=1,76\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,176\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,176 + 2,0\times10^{-5} = 0,00034549305 + 0,00002 = 0,00036549305\\ \mathrm{m}^3.
Ou
V = 3,6549\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 3: h=1,61\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,161\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,161 + 2,0\times10^{-5} = 0,00031612238 + 0,00002 = 0,00033612238\\ \mathrm{m}^3.
V = 3,3612\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 4: h=1,47\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,147\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,147 + 2,0\times10^{-5} = 0,00028851996 + 0,00002 = 0,00030851996\\ \mathrm{m}^3.
V = 3,0852\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 5: h=1,27\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,127\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,127 + 2,0\times10^{-5} = 0,00024936390 + 0,00002 = 0,00026936390\\ \mathrm{m}^3.
V = 2,6936\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 6: h=1,17\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,117\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,117 + 2,0\times10^{-5} = 0,0002297290 + 0,00002 = 0,0002497290\\ \mathrm{m}^3.
V = 2,4973\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 7: h=1,11\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,111\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,111 + 2,0\times10^{-5} = 0,0002179480 + 0,00002 = 0,0002379480\\ \mathrm{m}^3.
V = 2,3795\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Linha 8: h=1,04\times10^{1}\\ \mathrm{cm}=0,104\\ \mathrm{m}.
V = 0,0019634954\cdot0,104 + 2,0\times10^{-5} = 0,00020420352 + 0,00002 = 0,00022420352\\ \mathrm{m}^3.
V = 2,2420\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular PV para cada linha (produto da pressão dada pela coluna pelo volume que acabamos de calcular). Lembrete: 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{J}.
Linha 1: P=1,10\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=4,1270\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,10\times10^{5}\cdot 4,1270\times10^{-4} = 45,3969\\ \mathrm{J}\approx 45,40\\ \mathrm{J}.
Linha 2: P=1,20\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=3,6549\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,20\times10^{5}\cdot 3,6549\times10^{-4} = 43,8592\\ \mathrm{J}\approx 43,86\\ \mathrm{J}.
Linha 3: P=1,30\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=3,3612\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,30\times10^{5}\cdot 3,3612\times10^{-4} = 43,6956\\ \mathrm{J}\approx 43,70\\ \mathrm{J}.
Linha 4: P=1,40\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=3,0852\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,40\times10^{5}\cdot 3,0852\times10^{-4} = 43,1928\\ \mathrm{J}\approx 43,19\\ \mathrm{J}.
Linha 5: P=1,50\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=2,6936\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,50\times10^{5}\cdot 2,6936\times10^{-4} = 40,4046\\ \mathrm{J}\approx 40,40\\ \mathrm{J}.
Linha 6: P=1,60\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=2,4973\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,60\times10^{5}\cdot 2,4973\times10^{-4} = 39,9566\\ \mathrm{J}\approx 39,96\\ \mathrm{J}.
Linha 7: P=1,70\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=2,3795\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,70\times10^{5}\cdot 2,3795\times10^{-4} = 40,4502\\ \mathrm{J}\approx 40,45\\ \mathrm{J}.
Linha 8: P=1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V=2,2420\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
PV = 1,80\times10^{5}\cdot 2,2420\times10^{-4} = 40,3566\\ \mathrm{J}\approx 40,36\\ \mathrm{J}.
Comentário rápido (didático): os valores de PV ficam aproximadamente constantes (entre cerca de 40 e 45\\ \mathrm{J}), o que bate com a Lei de Boyle para processo isotérmico: PV= constante.

Passo 6

Determinar o número de mols n usando a lei dos gases ideais na forma
PV = nRT.
Como os dados experimentais não dão um único PV exato, podemos tomar como estimativa o valor médio de PV obtido nas linhas. Vou calcular a média aritmética dos oito PV que achamos:
PV_{\text{média}}=\frac{45,3969+43,8592+43,6956+43,1928+40,4046+39,9566+40,4502+40,3566}{8}=42,1640\\ \mathrm{J}.é
Agora, isolando n:
n=\frac{PV_{\text{média}}}{RT}.é
Substituindo R=8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=301\\ \mathrm{K}:
n=\frac{42,1640}{8,31\cdot301}=\frac{42,1640}{2501,31}=0,016857\\ \mathrm{mol}.
Arredondando com sentido prático:
n \approx 1,69\times10^{-2}\\ \mathrm{mol}.

Passo 7

Calcular o trabalho total realizado sobre a amostra de gás durante a compressão. Para um processo isotérmico reversível (temperatura constante) o trabalho realizado sobre o gás (positivo para compressão) ao comprimir de um volume inicial V_i até um volume final V_f é
W_{\text{sobre}} = nRT\ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right).
Explicação: o trabalho realizado pelo gás é W_{\text{pelo}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right); como queremos o trabalho sobre o gás, invertemos o sinal (ou escrevemos a expressão acima).
Identificar V_i e V_f na tabela: a condição inicial (menor pressão na lista) é a linha com P=1,10\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e h=20\\ \mathrm{cm}, então
V_i = 4,1270\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
A condição final (maior pressão) é a linha com P=1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e h=10,4\\ \mathrm{cm}, então
V_f = 2,2420\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Calcular o logaritmo:
\frac{V_i}{V_f} = \frac{4,1270\times10^{-4}}{2,2420\times10^{-4}} = 1,8417\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right)=0,6113.
Como nRT é numericamente igual ao valor constante PV (usamos PV_{\text{média}}=42,1640\\ \mathrm{J}é como estimativa de nRT), temos
W_{\text{sobre}} = nRT\ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right) \approx 42,1640\cdot0,6113 = 25,776\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
W_{\text{sobre}} \approx 25,8\\ \mathrm{J}.

Resposta

A) Tabela completa (colunas: Pressão, h (cm), Volume \mathrm{(m^3)}, PV (J))\n
1,10\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 20,0\\ \mathrm{cm},\; 4,1270\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 45,40\\ \mathrm{J}\n
1,20\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 17,6\\ \mathrm{cm},\; 3,6549\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 43,86\\ \mathrm{J}\n
1,30\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 16,1\\ \mathrm{cm},\; 3,3612\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 43,70\\ \mathrm{J}\n
1,40\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 14,7\\ \mathrm{cm},\; 3,0852\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 43,19\\ \mathrm{J}\n
1,50\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 12,7\\ \mathrm{cm},\; 2,6936\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 40,40\\ \mathrm{J}\n
1,60\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 11,7\\ \mathrm{cm},\; 2,4973\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 39,96\\ \mathrm{J}\n
1,70\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 11,1\\ \mathrm{cm},\; 2,3795\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 40,45\\ \mathrm{J}\n
1,80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\; 10,4\\ \mathrm{cm},\; 2,2420\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3,\; 40,36\\ \mathrm{J}\n
B) n \approx 1,69\times10^{-2}\\ \mathrm{mol}\n
C) W_{\text{sobre}} \approx 25,8\\ \mathrm{J}

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