A função de onda
para determinada onda estacionária em uma corda fixa em duas extremidades é dada por
, onde
e
estão em centímetros e
em segundos. Uma onda estacionária pode ser considerada como a superposição de duas ondas progressivas. (a) Quais são o comprimento de onda e a frequência das duas ondas que formam a onda estacionária? (b) Qual é a rapidez dessas ondas na corda? © Se a corda está vibrando em seu quarto harmônico, qual é o seu comprimento? R.(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias em uma corda fixa nas duas extremidades. A gente vai precisar entender os conceitos de onda estacionária, comprimento de onda, frequência, rapidez das ondas e harmônicos. A ideia é descobrir o comprimento de onda e a frequência das duas ondas que formam a onda estacionária, calcular a rapidez dessas ondas na corda e determinar o comprimento da corda quando ela está vibrando no quarto harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função de onda que foi dada: $ y(x, t) = 4,20 \sin(0,200 x) \cos(300 t) $. Essa é a equação de uma onda estacionária, que pode ser pensada como a superposição de duas ondas progressivas viajando em direções opostas. A forma geral dessa função é $ y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) $, onde:
- $ A $ é a amplitude das ondas,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
Vamos identificar os valores na nossa equação:
- $ 2A = 4,20 $ cm, então $ A = 2,10 $ cm,
- $ k = 0,200 $ cm
, - $ \omega = 300 $ rad/s.
Agora, para encontrar o comprimento de onda $ \lambda $, usamos a relação entre o número de onda e o comprimento de onda:
Então:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a frequência $ f $. Sabemos que a frequência angular $ \omega $ está relacionada com a frequência $ f $ por:
Então:
Calculando:
Passo 5
Com o comprimento de onda $ \lambda $ e a frequência $ f $ conhecidas, podemos calcular a rapidez $ v $ das ondas na corda usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Convertendo 31,42 cm para metros:
Então:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o comprimento da corda quando está vibrando no quarto harmônico. A relação entre o comprimento da corda $ L $, o número do harmônico $ n $ e o comprimento de onda $ \lambda $ é:
Para o quarto harmônico ($ n = 4 $):
Resposta
(a) $ 31,4 cm, 47,7 Hz $
(b) $ 15 m/s $
© $ 62,8 cm $