A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^2-b t^3, onde x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b ? Suponha que os valores numéricos de c e b sejam 3,0 e 2,0, respectivamente. © Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo e x ? De t=0,0 s a t=4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual o seu deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (j) t=1,0 s e (k) t=3,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a equação $ x = c t^{2} - b t^{3} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar entender conceitos de movimento retilíneo, unidades de medida e derivadas para encontrar velocidade. Vamos resolver parte por parte.

Passo 2

(a) Determinar as unidades da constante $ c $ e da constante $ b $.
Primeiro, vamos analisar a equação $ x = c t^{2} - b t^{3} $.
Sabemos que $ x $ está em metros (m) e $ t $ em segundos (s). Para que as unidades de ambos os termos da equação resultem em metros, as constantes $ c $ e $ b $ devem ajustar as unidades adequadamente.
  • Para o termo $ c t^{2} $:
    c
    b
    x = c t^2 - b t^3
    Então, a unidade de $ c $ é metros por segundo ao quadrado ($ m/s^2 $).
  • Para o termo $ b t^{3} $:
    x
    t
    c
    Então, a unidade de $ b $ é metros por segundo ao cubo ($ m/s^3 $).

Passo 3

(b) Considerando $ c = 3,0 $ e $ b = 2,0 $, em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de $ x $? No intervalo de $ t = 0,0 $ s a $ t = 4,0 $ s.
Para encontrar o instante em que a partícula atinge o maior valor positivo de $ x $, precisamos encontrar o tempo em que a posição $ x $ atinge um máximo. Isso acontece quando a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade, é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $:
c = 3,0
Substituindo $ c $ e $ b $:
b = 2,0
Para encontrar o máximo, igualamos $ v(t) $ a zero:
x
t = 0,0
As soluções são $ t = 0 $ s e $ t = 1 $ s.
Como estamos procurando o maior valor positivo dentro do intervalo de $ 0 $ a $ 4 $ segundos, descartamos $ t = 0 $ s.
Portanto, a partícula atinge o maior valor positivo de $ x $ em $ t = 1 $ s.

Passo 4

© Qual é a distância percorrida pela partícula e (d) qual o seu deslocamento?
Primeiro, vamos entender a diferença entre distância e deslocamento:
  • Deslocamento é a diferença entre a posição final e inicial da partícula.
  • Distância percorrida é o caminho total que a partícula percorre, independentemente da direção.
Vamos calcular ambos:
  1. Deslocamento:
Usamos a posição em $ t = 0 $ s e $ t = 4 $ s.
t = 0
t = 4
Deslocamento:
x(0) = 3,0 times 0^2 - 2,0 times 0^3 = 0 m
  1. Distância Percorrida:
A partícula atinge o ponto máximo em $ t = 1 $ s, então a distância total é a soma dos deslocamentos positivos e negativos.
x(4) = 3,0 times 4^2 - 2,0 times 4^3 = 3,0 times 16 - 2,0 times 64 = 48 - 128 = -80 m
Deslocamento de $ t = 0 $ a $ t = 1 $ s: $ 1 - 0 = 1 $ m.
Deslocamento de $ t = 1 $ a $ t = 4 $ s: $ -80 - 1 = -81 $ m.
A distância total percorrida é:
De

Passo 5

(e) Qual é o deslocamento da partícula?
Já calculamos no passo anterior:
De
Isso significa que a partícula se deslocou 80 metros na direção negativa do eixo $ x $.

Passo 6

Determinar a velocidade da partícula nos instantes:
(j) $ t = 1,0 $ s
Lembrando a expressão da velocidade:
t = 1,0
Substituindo $ t = 1 $ s:
v(t) = 6 t - 6 t^2
Portanto, a velocidade em $ t = 1,0 $ s é $ 0 $ m/s.
(k) $ t = 3,0 $ s
Substituindo $ t = 3 $ s:
t = 1
Portanto, a velocidade em $ t = 3,0 $ s é $ -36 $ m/s.

Resposta

As unidades da constante $ c $ são metros por segundo ao quadrado ($ m/s^2 $) e das constantes $ b $ são metros por segundo ao cubo ($ m/s^3 $). A partícula atinge o maior valor positivo de $ x $ em $ t = 1,0 $ s. A distância percorrida é 82 metros e o deslocamento é -80 metros. As velocidades da partícula são $ 0 $ m/s em $ t = 1,0 $ s e $ -36 $ m/s em $ t = 3,0 $ s.

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