As funções de Wannier para um cristal unidimensional com N átomos (N \rightarrow \infty), são definidas por
w_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k} e^{-i k n a} \psi_{k}(x)onde \psi_{k}(x) são as funções de Bloch:
a) Mostre que elas são ortogonais e normalizadas, \int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}(x) w_{n^{\prime}}(x) d x=\delta_{n n^{\prime}} .
b) Obtenha a relação inversa, i.e. uma função de Bloch a partir das funções de Wannier.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição das funções de Wannier para um cristal unidimensional com N átomos ( N\to\infty):
w_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} e^{-i k n a}\,\psi_{k}(x).
Vamos explicitar claramente o que o problema pede e quais dados/hipóteses aparecem:
  • O que é dado:
    • \psi_{k}(x) são as funções de Bloch associadas a um mesmo banda (índice de banda não escrito); os k somados formam o conjunto discreto de vetores de onda permitidos pela condição de contorno periódica (há exatamente N valores de k no primeiro zona de Brillouin).
    • a é a constante de rede e n\in\mathbb{Z} é o índice da célula/átomo onde a Wannier está centrada.
    • A soma em k é sobre os N valores discretos de k (usualmente k_m=\tfrac{2\pi m}{Na}, m=0,\dots,N-1).
  • O que é pedido:
    • (a) Mostrar que as Wannier são ortonormais, ou seja \int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}(x)\,w_{n'}(x)\,dx=\delta_{nn'}.
    • (b) Obter a relação inversa, isto é, escrever \psi_{k}(x) em termos das w_n(x).
  • Observações úteis que podemos usar (hipóteses padrão):
    • As funções de Bloch \psi_k são ortonormais entre si (no conjunto discreto de k): \int \psi_k^*(x)\psi_{k'}(x)\,dx=\delta_{kk'} (Kronecker).
    • As exponenciais discretas satisfazem relações de ortogonalidade discreta como \dfrac{1}{N}\sum_{k} e^{i k (n-n')a}=\delta_{nn'} e \dfrac{1}{N}\sum_{n} e^{i(k-k')n a}=\delta_{kk'}. Mais abaixo vou mostrar por que essas identidades valem.
  • A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escrevemos a integral de sobreposição entre duas Wannier, substituindo as definições e deixando as somas explícitas:
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}(x)\,w_{n'}(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} e^{+i k n a}\,\psi_{k}^{*}(x)\right) \left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k'} e^{-i k' n' a}\,\psi_{k'}(x)\right) dx.
Agora factoramos os prefatores 1/\sqrt{N} e colocamos as somas e a integral numa ordem conveniente (soma finita e integral podem ser trocadas sem problema):
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}w_{n'}\,dx =\frac{1}{N}\sum_{k}\sum_{k'} e^{i k n a} e^{-i k' n' a} \int_{-\infty}^{\infty}\psi_{k}^{*}(x)\,\psi_{k'}(x)\,dx.

Passo 3

Usamos agora a ortonormalidade das funções de Bloch. A hipótese padrão é:
\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{k}^{*}(x)\,\psi_{k'}(x)\,dx=\delta_{kk'},
onde \delta_{kk'} é o delta de Kronecker (igual a 1 se k=k' e 0 caso contrário). Substituindo isso na expressão anterior:
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}w_{n'}\,dx =\frac{1}{N}\sum_{k}\sum_{k'} e^{i k n a} e^{-i k' n' a}\,\delta_{kk'}.
A presença do \delta_{kk'} zera a soma sobre uma das parcelas, colapsando \sum_{k'} com k'=k:
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}w_{n'}\,dx =\frac{1}{N}\sum_{k} e^{i k n a} e^{-i k n' a} =\frac{1}{N}\sum_{k} e^{i k (n-n') a}.

Passo 4

Agora precisamos avaliar a soma discreta
\frac{1}{N}\sum_{k} e^{i k (n-n') a}.
Para ver por que isso vale \delta_{nn'} lembramos que os k permitidos, por condições periódicas num cristal de N sítios, podem ser tomados como
k_m=\frac{2\pi m}{N a},\qquad m=0,1,\dots,N-1.
Defina s=n-n' (inteiro). A soma torna-se
\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} e^{i \frac{2\pi m}{N} s}.
Isto é uma soma geométrica de razão r=e^{i\frac{2\pi s}{N}}. Se s é múltiplo de N (no nosso contexto, dadas as faixas de n,n', isso só ocorre quando s=0), então cada termo é 1 e a soma dá N, e portanto \frac{1}{N}\cdot N=1. Se s não é múltiplo de N, a soma geométrica de N termos com razão r\ne1 é
\sum_{m=0}^{N-1} r^{m}=\frac{1-r^{N}}{1-r}=0,
porque r^{N}=e^{i2\pi s}=1. Logo a soma vale 0. Concluímos:
\frac{1}{N}\sum_{k} e^{i k (n-n') a}=\delta_{nn'}.
Substituindo isso no resultado do Passo 3 obtemos a ortonormalidade desejada:
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}(x)\,w_{n'}(x)\,dx=\delta_{nn'}.
Isso prova a parte (a). Bom trabalho — até aqui é só manipular somas e usar duas ortogonalidades padrão.

Passo 5

Um pequeno comentário físico-didático (para fixar a intuição): a relação que usamos entre exponenciais discreta é a identidade de ortogonalidade da transformada de Fourier discreta entre os índices n (posição da célula) e k (vetor de onda). Ela garante que o conjunto \{w_n\} é ortonormal sempre que as \{\psi_k\} forem ortonormais e vice-versa. As Wannier ficam localizadas em torno da célula n por construção dessa combinação de fases.

Passo 6

Agora vamos obter a relação inversa pedida na parte (b): queremos escrever \psi_{k}(x) em função das w_n(x).
Começamos com a expressão candidata natural inspirada na transformada discreta inversa:
\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} e^{i k n a}\,w_{n}(x).
Substituímos w_n(x) pela sua definição:
\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} e^{i k n a}\,\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k'} e^{-i k' n a}\psi_{k'}(x)\right) =\frac{1}{N}\sum_{n}\sum_{k'} e^{i(k-k')n a}\,\psi_{k'}(x).
Trocando a ordem das somas e usando a identidade discreta
\frac{1}{N}\sum_{n} e^{i(k-k')n a}=\delta_{kk'},
obtemos
\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} e^{i k n a}\,w_{n}(x) =\sum_{k'} \delta_{kk'}\,\psi_{k'}(x)=\psi_{k}(x).
Portanto a relação inversa é
\boxed{\psi_{k}(x)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} e^{i k n a}\,w_{n}(x).}
Note que aqui usamos exatamente a ortogonalidade discreta das exponenciais em n. Isso fecha a parte (b).

Passo 7

Comentário sobre o limite N\to\infty (para não te deixar em dúvida): quando se passa a um cristal infinito tratado com k contínuo, as somas em k viram integrais e os deltas de Kronecker \delta_{kk'} viram deltas de Dirac \delta(k-k'); nesse caso as normalizações precisam ser ajustadas (fatores de 2\pi etc.). Aqui trabalhámos com a convenção discreta (soma sobre N valores de k), que é a habitual para mostrar essas identidades de forma clara e rigorosa para fins de prova.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} w_{n}^{*}(x)\,w_{n'}(x)\,dx=\delta_{nn'}
\displaystyle \psi_{k}(x)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} e^{i k n a}\,w_{n}(x)

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