As funções de Wannier para um cristal unidimensional com
átomos
, são definidas por
onde
são as funções de Bloch:
a) Mostre que elas são ortogonais e normalizadas,
.
b) Obtenha a relação inversa, i.e. uma função de Bloch a partir das funções de Wannier.
b) Obtenha a relação inversa, i.e. uma função de Bloch a partir das funções de Wannier.
Passo 1
O enunciado nos dá a definição das funções de Wannier para um cristal unidimensional com
átomos (
):
Vamos explicitar claramente o que o problema pede e quais dados/hipóteses aparecem:
- O que é dado:
-
são as funções de Bloch associadas a um mesmo banda (índice de banda não escrito); os somados formam o conjunto discreto de vetores de onda permitidos pela condição de contorno periódica (há exatamente valores de no primeiro zona de Brillouin). -
é a constante de rede e é o índice da célula/átomo onde a Wannier está centrada. - A soma em
é sobre os valores discretos de (usualmente , ).
-
- O que é pedido:
- (a) Mostrar que as Wannier são ortonormais, ou seja
- (b) Obter a relação inversa, isto é, escrever
em termos das .
- (a) Mostrar que as Wannier são ortonormais, ou seja
- Observações úteis que podemos usar (hipóteses padrão):
- As funções de Bloch
são ortonormais entre si (no conjunto discreto de ): (Kronecker). - As exponenciais discretas satisfazem relações de ortogonalidade discreta como
e . Mais abaixo vou mostrar por que essas identidades valem.
- As funções de Bloch
- A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escrevemos a integral de sobreposição entre duas Wannier, substituindo as definições e deixando as somas explícitas:
Agora factoramos os prefatores
e colocamos as somas e a integral numa ordem conveniente (soma finita e integral podem ser trocadas sem problema):
Passo 3
Usamos agora a ortonormalidade das funções de Bloch. A hipótese padrão é:
onde
é o delta de Kronecker (igual a
se
e
caso contrário). Substituindo isso na expressão anterior:
A presença do
zera a soma sobre uma das parcelas, colapsando
com
:
Passo 4
Agora precisamos avaliar a soma discreta
Para ver por que isso vale
lembramos que os
permitidos, por condições periódicas num cristal de
sítios, podem ser tomados como
Defina
(inteiro). A soma torna-se
Isto é uma soma geométrica de razão
. Se
é múltiplo de
(no nosso contexto, dadas as faixas de
, isso só ocorre quando
), então cada termo é
e a soma dá
, e portanto
. Se
não é múltiplo de
, a soma geométrica de
termos com razão
é
porque
. Logo a soma vale
. Concluímos:
Substituindo isso no resultado do Passo 3 obtemos a ortonormalidade desejada:
Isso prova a parte (a). Bom trabalho — até aqui é só manipular somas e usar duas ortogonalidades padrão.
Passo 5
Um pequeno comentário físico-didático (para fixar a intuição): a relação que usamos entre exponenciais discreta é a identidade de ortogonalidade da transformada de Fourier discreta entre os índices
(posição da célula) e
(vetor de onda). Ela garante que o conjunto
é ortonormal sempre que as
forem ortonormais e vice-versa. As Wannier ficam localizadas em torno da célula
por construção dessa combinação de fases.
Passo 6
Agora vamos obter a relação inversa pedida na parte (b): queremos escrever
em função das
.
Começamos com a expressão candidata natural inspirada na transformada discreta inversa:
Substituímos
pela sua definição:
Trocando a ordem das somas e usando a identidade discreta
obtemos
Portanto a relação inversa é
Note que aqui usamos exatamente a ortogonalidade discreta das exponenciais em
. Isso fecha a parte (b).
Passo 7
Comentário sobre o limite
(para não te deixar em dúvida): quando se passa a um cristal infinito tratado com
contínuo, as somas em
viram integrais e os deltas de Kronecker
viram deltas de Dirac
; nesse caso as normalizações precisam ser ajustadas (fatores de
etc.). Aqui trabalhámos com a convenção discreta (soma sobre
valores de
), que é a habitual para mostrar essas identidades de forma clara e rigorosa para fins de prova.