A função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico é dado por \psi(x)= A e^{-x^{2} / L^{2}}.
A) Mostre que \psi_{1}(x)=L\left(\frac{d \psi_{0}}{d x}\right) também é solução da Equação de Schrödinger.
B) Qual é a energia desse novo estado?
C) Depois de examinar os nós da função de onda no item (B), como você classificaria esse estado excitado?

Passo 1

O enunciado dá o estado fundamental de um oscilador harmônico unidimensional
\psi_0(x)=A\,e^{-x^2/L^2}
e pede que se mostre que
\psi_1(x)=L\,\frac{d\psi_0}{dx}
é também solução da Equação de Schrödinger independente do tempo
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi=E\,\psi,
além de determinar a energia E desse novo estado e classificá-lo pelo número de nós.

Passo 2

Começamos da E.S. que \psi_0 satisfaz, com energia E_0:
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi_0''(x)+\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi_0(x)=E_0\,\psi_0(x).
Derivando em x ambos os lados:
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi_0'''(x)+m\omega^2x\,\psi_0(x)+\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi_0'(x) =E_0\,\psi_0'(x).
Multiplicando por L e usando \psi_1=L\,\psi_0' e ainda \psi_0'=-\frac{2x}{L^2}\psi_0\implies x\psi_0=-\tfrac{L^2}{2}\psi_0',
temos
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi_1''(x) +\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi_1(x) -m\omega^2\Bigl(\tfrac{L^2}{2}\Bigr)\psi_1(x) =E_0\,\psi_1(x).
Como m\omega^2L^2/2=\hbar\omega, reorganizamos:
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi_1''+\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi_1 =(E_0+\hbar\omega)\,\psi_1.
Isto mostra que \psi_1 é autofunção da mesma equação com energia E=E_0+\hbar\omega.

Passo 3

Sabendo que para o estado fundamental E_0=\tfrac12\,\hbar\omega, obtemos
E=E_0+\hbar\omega=\frac12\,\hbar\omega+\hbar\omega=\frac32\,\hbar\omega.

Passo 4

A função \psi_1(x)\propto x\,e^{-x^2/L^2} tem exatamente um nó em x=0.
Portanto é o primeiro estado excitado (número quântico n=1), de paridade ímpar.

Resposta

(a) Mostrou-se que \psi_1=L\,d\psi_0/dx satisfaz a E.S. com E=E_0+\hbar\omega.
(b) E=\tfrac32\,\hbar\omega.
(c) É o primeiro estado excitado n=1, com um nó em x=0 e paridade ímpar.

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