A função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico é dado por
.
A) Mostre que
também é solução da Equação de Schrödinger.
B) Qual é a energia desse novo estado?
C) Depois de examinar os nós da função de onda no item (B), como você classificaria esse estado excitado?
A) Mostre que
B) Qual é a energia desse novo estado?
C) Depois de examinar os nós da função de onda no item (B), como você classificaria esse estado excitado?
Passo 1
O enunciado dá o estado fundamental de um oscilador harmônico unidimensional
e pede que se mostre que
é também solução da Equação de Schrödinger independente do tempo
além de determinar a energia
desse novo estado e classificá-lo pelo número de nós.
Passo 2
Começamos da E.S. que
satisfaz, com energia
:
Derivando em
ambos os lados:
Multiplicando por
e usando
e ainda
,
temos
temos
Como
, reorganizamos:
Isto mostra que
é autofunção da mesma equação com energia
.
Passo 3
Sabendo que para o estado fundamental
, obtemos
Passo 4
A função
tem exatamente um nó em
.
Portanto é o primeiro estado excitado (número quântico ), de paridade ímpar.
Portanto é o primeiro estado excitado (número quântico
Resposta
(a) Mostrou-se que
satisfaz a E.S. com
.
(b) .
(c) É o primeiro estado excitado , com um nó em
e paridade ímpar.
(b)
(c) É o primeiro estado excitado