Um feixe de prótons com uma energia de 20 MeV incide no ponto x=0, em um degrau de potencial de 40 MeV de energia potencial. Faça um gráfico da densidade de probabilidade de os prótons serem observados na região entre x=0 e x=5 \mathrm{fm} em função de x. (Sugestão: faça |A|^{2}=1 )

Passo 1

O enunciado trata de um feixe de prótons incidente num degrau de potencial de altura V_{0}=40 MeV com energia E=20 MeV, de modo que em x>0 temos uma região clássica proibida E<V_{0}. O conteúdo é solução da equação de Schrödinger independente do tempo em potencial constante V(x)=V_{0} para x>0. Para desenhar a densidade de probabilidade na região 0\le x\le5 fm, vamos precisar da forma da função de onda decrescente (solução evanescente) e do coeficiente de decaimento \kappa.

Passo 2

Em x>0, a equação de Schrödinger livre com potencial V_{0} dá solução que decai exponencialmente:
\psi(x)=A\,e^{-\kappa x},
onde
\kappa = \frac{\sqrt{2m\,(V_{0}-E)}}{\hbar}.

Passo 3

Usando m do próton ( m c^{2}\approx938 MeV) e \hbar c\approx197{,}3 Me V\cdot fm, temos
\kappa = \frac{\sqrt{2\,(938\:\mathrm{MeV})\,(40-20)\:\mathrm{MeV}}}{197{,}3\:\mathrm{MeV\cdot fm}} = \frac{\sqrt{2\cdot938\cdot20}}{197{,}3}\:\mathrm{fm^{-1}} \approx0{,}98\:\mathrm{fm^{-1}}.

Passo 4

A densidade de probabilidade é
\rho(x)=|\psi(x)|^{2} =|A|^{2}\,e^{-2\kappa x}.
Adotando |A|^{2}=1, obtemos
\rho(x)=e^{-2\kappa x} \quad\text{com}\quad \kappa\approx0{,}98\:\mathrm{fm^{-1}}.

Passo 5

O gráfico de \rho(x)=e^{-1{,}96\,x} para 0\le x\le5 fm é uma exponencial decrescente que parte de \rho(0)=1 e cai rapidíssimo. Em x=5 fm,
\rho(5)\approx e^{-1{,}96\cdot5}\approx e^{-9{,}8}\approx5\times10^{-5}.
Gráfico qualitativo (eixo vertical em escala logarítmica ou linear):
x [fm]│0────1────2────3────4──── 5\rho(x) │ 1\to 0,14\to 0,02\to 0,003\to 0,0005\to 0,00005
No plano cartesiano, basta traçar a curva y=e^{-1{,}96x} entre x=0 e x=5.

Resposta

A densidade de probabilidade em função de x é
\rho(x)=e^{-1{,}96\,x},
decrescendo de 1 em x=0 a cerca de 5\times10^{-5} em x=5 fm.

Exercícios relacionados