A função de onda de uma partícula de massa m movendo-se em um potencial V(x) é psi(x, t)= Aexp(-i k t-k m x^2 / hbar), onde A e k são constantes. Encontre a forma explícita do potencial V(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda de uma partícula, que descreve como ela se comporta no espaço e no tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o potencial que está agindo sobre essa partícula. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é fundamental na mecânica quântica para relacionar a energia da partícula com sua função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2 + V(x)psi :
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o potencial que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda partial psipartial t = -i k A exp(-i k t - k m x^2hbar) = -i k psi .
Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
partial psipartial x = A exp(-i k t - k m x^2hbar) (-2k m xhbar) = -2k m xhbar psi
Agora, a primeira derivada em relação ao espaço:
partial^2 psipartial x^2 = partialpartial x (-2k m xhbar psi) = -2k mhbar psi + (-2k m xhbar)^2 psi = (-2k mhbar + 4k^2 m^2 x^2hbar^2) psi
E a segunda derivada em relação ao espaço:

Passo 4

Agora, vamos substituir ihbar (-i k psi) = -hbar^22m (-2k mhbar psi + 4k^2 m^2 x^2hbar^2 psi) + V(x)psi e ihbar (-i k psi) = hbar k psi na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-2k mhbar + 4k^2 m^2 x^2hbar^2) psi + V(x)psi = (hbar k - 2k^2 m x^2) psi + V(x)psi
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 5

Igualando os dois lados da equação:
hbar k psi = (hbar k - 2k^2 m x^2 + V(x)) psi
Vamos subtrair 0 = -2k^2 m x^2 psi + V(x)psi de ambos os lados:
0 = -2k^2 m x^2 + V(x)
Dividindo ambos os lados por (que não é zero):

Resposta

Portanto, a forma explícita do potencial é:
V(x) = 2 k^2 m x^2

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