A função de onda de uma partícula de massa m movendo-se em um potencial V(x) é \psi(x, t)= A \exp \left(-i k t-k m x^{2} / \hbar\right), onde A e k são constantes. Encontre a forma explícita do potencial V(x).

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x,t)=A\exp\!\left(-i k t-\frac{k m x^{2}}{\hbar}\right),
onde A e k são constantes, e pede para encontrar a forma explícita do potencial V(x).
Informações importantes que o enunciado fornece:
[
  • \psi(x,t) está explicitamente dada (produto de um fator temporal e^{-i k t} e um fator espacial gaussiano e^{-k m x^{2}/\hbar});
  • A é constante de normalização (não precisamos do seu valor para achar V(x));
  • k é uma constante (presumivelmente real);
  • queremos V(x) tal que \psi(x,t) satisfaça a equação de evolução adequada (ou seja, a equação que vincula energia/tempo e operador Hamiltoniano) — a equação será usada na resolução.

Passo 2

Escolha do método e equação usada. Vou usar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão, que relaciona a derivada temporal da função de onda com o operador Hamiltoniano. A versão que usaremos é
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x)\right)\psi.
Explicando cada termo:
[
  • i é a unidade imaginária;
  • \hbar é a constante de Planck reduzida;
  • \psi(x,t) é a função de onda (conhecida);
  • -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} é o operador cinético (segunda derivada espacial multiplicada por constantes);
  • V(x) é o potencial que queremos achar;
  • o lado direito é o Hamiltoniano (energia total: cinética + potencial) atuando sobre \psi.
Justificativa rápida: como \psi está dada, podemos calcular as derivadas temporal e espacial, inserir na equação acima e resolver para V(x).]

Passo 3

Calcule a derivada temporal de \psi. Como \psi(x,t)=A e^{-i k t} e^{-k m x^{2}/\hbar}, a dependência temporal está só em e^{-i k t}. Portanto
\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i k \psi.
Multiplicando por i\hbar (lado esquerdo da Schrödinger),
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = i\hbar(-i k)\psi = \hbar k\,\psi.
Interpretação: o fator temporal e^{-i k t} corresponde a um autovalor de energia \hbar k (ou seja, \psi é um autoestado de energia com energia \hbar k).

Passo 4

Separe a parte espacial e calcule as derivadas espaciais. Defina a parte espacial
\varphi(x)=A\exp\!\left(-\frac{k m x^{2}}{\hbar}\right).
Para simplificar a notação, ponha
\alpha=\frac{k m}{\hbar},
então \varphi(x)=A e^{-\alpha x^{2}}. Agora calcule a primeira e a segunda derivadas:
\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\big(A e^{-\alpha x^{2}}\big) = A(-2\alpha x)e^{-\alpha x^{2}} = -2\alpha x\,\varphi(x).
Derivando de novo,
\varphi''(x) = \frac{d}{dx}\big(-2\alpha x\,\varphi(x)\big) = -2\alpha \varphi(x) -2\alpha x\,\varphi'(x).
Substituindo \varphi'(x)=-2\alpha x\,\varphi(x),
\varphi''(x) = -2\alpha \varphi(x) -2\alpha x(-2\alpha x\,\varphi(x)) = (-2\alpha +4\alpha^{2}x^{2})\varphi(x).
Portanto
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = \varphi''(x)\,e^{-i k t} = (4\alpha^{2}x^{2}-2\alpha)\psi.

Passo 5

Calcule a ação do operador cinético sobre \psi:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(4\alpha^{2}x^{2}-2\alpha\big)\psi.
Substitua \alpha=\dfrac{k m}{\hbar}. Primeiro calcule os termos separadamente:
4\alpha^{2} = 4\left(\frac{k m}{\hbar}\right)^{2} = \frac{4k^{2}m^{2}}{\hbar^{2}}, \qquad 2\alpha = 2\frac{k m}{\hbar}.
Então
-\frac{\hbar^{2}}{2m}(4\alpha^{2}x^{2}-2\alpha)\psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{4k^{2}m^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}\psi + \frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{2k m}{\hbar}\psi.
Simplificando cada termo:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{4k^{2}m^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}\psi = -\frac{4k^{2}m^{2}}{2m}x^{2}\psi = -2k^{2}m x^{2}\psi,
\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\frac{2k m}{\hbar}\psi = \hbar k\,\psi.
Portanto o operador cinético produz
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = \big(-2k^{2}m x^{2} + \hbar k\big)\psi.

Passo 6

Agora coloque tudo na equação de Schrödinger:
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x)\right)\psi.
Substitua os resultados dos passos anteriores: o lado esquerdo é \hbar k\,\psi; o termo cinético é (-2k^{2}m x^{2} + \hbar k)\psi. Assim
\hbar k\,\psi = \big(-2k^{2}m x^{2} + \hbar k + V(x)\big)\psi.
Como \psi não é zero, podemos dividir por \psi e cancelar \hbar k nos dois lados, obtendo
0 = -2k^{2}m x^{2} + V(x).
Daí isolamos V(x):
V(x) = 2m k^{2} x^{2}.

Passo 7

Interpretação e comentário didático final. O potencial encontrado é uma armadilha quadrática (potencial harmônico):
V(x)=2m k^{2}x^{2}.
Podemos reescrever na forma usual do oscilador harmônico \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} identificando \omega=2k, e verificar que a energia associada \hbar k corresponde exatamente ao nível fundamental \tfrac{1}{2}\hbar\omega (pois \tfrac{1}{2}\hbar\omega=\tfrac{1}{2}\hbar(2k)=\hbar k). Ou seja, a função de onda dada é o estado fundamental do oscilador harmônico com frequência \omega=2k. Força um pouco de física, mas é um bom check de consistência.

Resposta

V(x)=2m k^{2} x^{2}

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