A função de onda de uma partícula de massa
movendo-se em um potencial
é
, onde
e
são constantes. Encontre a forma explícita do potencial
.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
onde
e
são constantes, e pede para encontrar a forma explícita do potencial
.
Informações importantes que o enunciado fornece:
Informações importantes que o enunciado fornece:
[
- •
está explicitamente dada (produto de um fator temporal e um fator espacial gaussiano ); - •
é constante de normalização (não precisamos do seu valor para achar ); - •
é uma constante (presumivelmente real); - •queremos
tal que satisfaça a equação de evolução adequada (ou seja, a equação que vincula energia/tempo e operador Hamiltoniano) — a equação será usada na resolução.
Passo 2
Escolha do método e equação usada. Vou usar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão, que relaciona a derivada temporal da função de onda com o operador Hamiltoniano. A versão que usaremos é
Explicando cada termo:
[
- •
é a unidade imaginária; - •
é a constante de Planck reduzida; - •
é a função de onda (conhecida); - •
é o operador cinético (segunda derivada espacial multiplicada por constantes); - •
é o potencial que queremos achar; - •o lado direito é o Hamiltoniano (energia total: cinética + potencial) atuando sobre
.
Justificativa rápida: como
está dada, podemos calcular as derivadas temporal e espacial, inserir na equação acima e resolver para
.]
Passo 3
Calcule a derivada temporal de
. Como
, a dependência temporal está só em
. Portanto
Multiplicando por
(lado esquerdo da Schrödinger),
Interpretação: o fator temporal
corresponde a um autovalor de energia
(ou seja,
é um autoestado de energia com energia
).
Passo 4
Separe a parte espacial e calcule as derivadas espaciais. Defina a parte espacial
Para simplificar a notação, ponha
então
. Agora calcule a primeira e a segunda derivadas:
Derivando de novo,
Substituindo
,
Portanto
Passo 5
Calcule a ação do operador cinético sobre
:
Substitua
. Primeiro calcule os termos separadamente:
Então
Simplificando cada termo:
Portanto o operador cinético produz
Passo 6
Agora coloque tudo na equação de Schrödinger:
Substitua os resultados dos passos anteriores: o lado esquerdo é
; o termo cinético é
. Assim
Como
não é zero, podemos dividir por
e cancelar
nos dois lados, obtendo
Daí isolamos
:
Passo 7
Interpretação e comentário didático final. O potencial encontrado é uma armadilha quadrática (potencial harmônico):
Podemos reescrever na forma usual do oscilador harmônico
identificando
, e verificar que a energia associada
corresponde exatamente ao nível fundamental
(pois
). Ou seja, a função de onda dada é o estado fundamental do oscilador harmônico com frequência
. Força um pouco de física, mas é um bom check de consistência.