Um carrinho de montanha-russa, com duas pessoas, tem massa total de 300 kg e é solto de uma altura de 12 m . Após longa trajetória, verifica-se a perda de 80% da energia mecânica inicial e então, no trecho horizontal, um sistema de molas é usado para brecar o carrinho. A aceleração local da gravidade é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a constante elástica do referido sistema de molas é de 1,0 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Nessas condições, a máxima deformação do sistema de molas é, em metros,
a) 1,2
b) 0,80
c) 0,40
d) 0,20
e) 0,10

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a máxima deformação das molas em metros:
m=300\\ \mathrm{kg},\quad h=12\\ \mathrm{m},\quad \text{perda de }80\%,\quad g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad k=1,0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.
A pergunta é: qual a deformação máxima x das molas quando o carrinho, com a energia restante após a perda, é completamente parado pelas molas?

Passo 2

Primeiro calculo a energia mecânica inicial do carrinho ao ser solto (energia potencial gravitacional no topo). A fórmula é
E_i = mgh,
onde E_i é a energia inicial (em joules), m a massa, g a gravidade e h a altura. Substituindo:
E_i = 300\cdot10\cdot12 = 36000\\ \mathrm{J}.

Passo 3

O enunciado diz que há perda de 80\% da energia mecânica inicial. Então a fração de energia que resta é
1-0,80=0,20.
Portanto a energia disponível para ser absorvida pelas molas é
E_{\text{rest}} = 0,20\cdot E_i = 0,20\cdot36000 = 7200\\ \mathrm{J}.

Passo 4

A energia armazenada por uma mola (energia potencial elástica) é dada por
U_s=\tfrac{1}{2}kx^{2},
onde U_s é a energia elástica, k a constante elástica e x a deformação máxima. Aqui assumimos que toda a energia restante E_{\text{rest}} é convertida em U_s, ou seja:
E_{\text{rest}}=\tfrac{1}{2}kx^{2}.

Passo 5

Isolo x^{2} na equação:
x^{2}=\frac{2E_{\text{rest}}}{k}.
Agora substituo os valores numéricos:
x^{2}=\frac{2\cdot7200}{1,0\times10^{4}}=\frac{14400}{10000}=1,44.

Passo 6

Tomo a raiz quadrada para obter x:
x=\sqrt{1,44}=1,2\\ \mathrm{m}.
(Detalhe: \sqrt{1,44}=\sqrt{144/100}=12/10=1,2.)

Passo 7

Concluímos que a máxima deformação do sistema de molas é 1,2\\ \mathrm{m}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 1,2

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