Uma onda plana uniforme para a qual \omega= =2 \mathrm{Mrad} / \mathrm{s}, tem o valor \mathrm{E}_{s}=\left(20 / 90^{\circ}\right) \mathrm{a}_{x} \mathrm{mV} / \mathrm{m} no plano z=0. O meio onde ela se propaga tem as seguintes características: \mu_{R}=10, e_{R}=2,5 e \sigma=10^{-4} v / \mathrm{m}. Determine os valores numéricos de: (a) \alpha; (b) \beta; (c) \lambda; (d) v ;(e) \eta; (f) Epara z=10 \mathrm{~m}, t=6 \mu \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias quantidades de uma onda plana que se propaga em um meio com perdas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dados:
  • \omega=2\\ \mathrm{Mrad/s}=2\cdot10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Campo elétrico no plano z=0: \mathrm{E}_{s}=\bigl(20\angle90^\circ\bigr)\,\mathrm{a}_{x}\\ \mathrm{mV/m}. (Isto significa amplitude 20\\ \mathrm{mV/m} com fase 90^\circ na direção \mathrm{a}_{x}.)
  • Propriedades do meio:
    \mu_{r}=10,
    \varepsilon_{r}=2{,}5,
    \sigma=10^{-4}\\ \mathrm{S/m}. (Usei \mathrm{S/m} como unidade usual para condutividade.)
  • Constantes do vácuo: \mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \varepsilon_{0}=8{,}854187817\cdot10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
O que pedem:
(a) \alpha (constante de atenuação, em \mathrm{Np/m});
(b) \beta (constante de fase, em \mathrm{rad/m});
(c) \lambda (comprimento de onda, em \mathrm{m});
(d) v (velocidade de fase, em \mathrm{m/s});
(e) \eta (impedância intrínseca do meio, em \Omega);
(f) \mathrm{E} no ponto z=10\\ \mathrm{m} e instante t=6\\ \mu\mathrm{s} (valor instantâneo, em \mathrm{V/m} ou \mathrm{mV/m}, direção \mathrm{a}_{x}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação):
  • A constante de propagação complexa é \gamma=\alpha+j\beta. Para um meio linear homogêneo com condutividade \sigma,
    \gamma=\sqrt{j\omega\mu\bigl(\sigma+j\omega\varepsilon\bigr)}.
    Aqui \mu=\mu_{0}\mu_{r} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
    Explicação didática: \gamma é a raiz quadrada de um número complexo; a parte real \alpha mede quanto o campo decai por metro (Np/m) e a parte imaginária \beta mede a variação de fase por metro (rad/m).
  • A impedância intrínseca do meio pode ser obtida por
    \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}
    ou, alternativamente, usando \gamma,
    \eta=\frac{j\omega\mu}{\gamma}.
    Explicação: \eta relaciona \mathbf{E} e \mathbf{H} localmente; em meios com perda ela será complexa (tem módulo e fase).
  • O campo em z no domínio complexo (fasor) para uma onda que se propaga na direção +z é
    \mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_{0}e^{-\gamma z}.
    Para voltar ao tempo real usamos \mathrm{Re}\{\mathbf{E}(z)e^{j\omega t}\}.

Passo 3

Calcular \mu e \varepsilon numéricos:
\mu=\mu_{0}\mu_{r}=4\pi\cdot10^{-7}\cdot10=1{,}25663706\cdot10^{-5}\\ \mathrm{H/m}.
\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}=8{,}854187817\cdot10^{-12}\cdot2{,}5=2{,}213546954\cdot10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Também é útil calcular \omega\varepsilon:
\omega\varepsilon=2\cdot10^{6}\cdot2{,}213546954\cdot10^{-11}=4{,}427094\cdot10^{-5}\\ \mathrm{S/m}.
E a razão adimensional que aparece frequentemente:
S=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{10^{-4}}{4{,}427094\cdot10^{-5}}\approx2{,}257.
Comentário: S indica quão “condutor” é o meio em relação à reatância; aqui S\sim2{,}26 não é desprezível, então devemos trabalhar com números complexos completos.

Passo 4

Cálculo de \gamma de forma prática usando a fatorização
\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-jS},
onde S=\sigma/(\omega\varepsilon). Explico como obter \sqrt{1-jS}:
  • Primeiro calcule o módulo e o argumento de 1-jS: |1-jS|=\sqrt{1+S^{2}}=\sqrt{1+2{,}257^{2}}=\sqrt{6{,}093}\approx2{,}468,
\arg(1-jS)=\tan^{-1}\!\bigl(-S/1\bigr)=-\tan^{-1}(2{,}257)\approx-66{,}9^\circ\\ (\approx-1{,}168\\ \mathrm{rad}).
  • A raiz quadrada tem módulo \sqrt{|1-jS|} e argumento metade: \sqrt{1-jS}=\sqrt{2{,}468}\,\exp\bigl(j(-1{,}168/2)\bigr)\approx1{,}571\,e^{-j0{,}584}.Convertendo para forma retangular: \sqrt{1-jS}\approx1{,}312 - j0{,}864.

Passo 5

Agora calcule \omega\sqrt{\mu\varepsilon} e, em seguida, \alpha e \beta.
  • Primeiro \sqrt{\mu\varepsilon}:
    \sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{1{,}25663706\cdot10^{-5}\cdot2{,}213546954\cdot10^{-11}} \approx1{,}667\cdot10^{-8}.
  • Logo
    \omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\cdot10^{6}\cdot1{,}667\cdot10^{-8}\approx0{,}033334\\ \mathrm{1/m}.
  • Usando a expressão de \gamma:
    \gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,(1{,}312 - j0{,}864).
    Multiplicando j por esse número: j(1{,}312-j0{,}864)=-(-0{,}864)+j1{,}312=0{,}864 + j1{,}312 — na prática isso gera as partes real e imaginária de \gamma multiplicadas por \omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
  • Finalmente:
    \alpha=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\cdot0{,}864\approx0{,}033334\cdot0{,}864\approx0{,}0288\\ \mathrm{Np/m},
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\cdot1{,}312\approx0{,}033334\cdot1{,}312\approx0{,}0437\\ \mathrm{rad/m}.
(Arredondei para 3–4 dígitos significativos; você pode manter mais casas se quiser.)

Passo 6

Cálculo de \lambda e v.
  • Comprimento de onda:
    \lambda=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{0{,}0437}\approx143{,}7\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade de fase:
    v=\frac{\omega}{\beta}=\frac{2\cdot10^{6}}{0{,}0437}\approx4{,}58\cdot10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: v é menor que a velocidade da luz no vácuo ( 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}), como esperado em um meio material.

Passo 7

Cálculo da impedância intrínseca \eta. Vou usar a relação
\eta=\frac{j\omega\mu}{\gamma},
pois já temos \gamma.
  • Primeiro calcule j\omega\mu:
    j\omega\mu=j\cdot2\cdot10^{6}\cdot1{,}25663706\cdot10^{-5}=j\cdot25{,}1327412.
  • Temos \gamma\approx0{,}0288 + j0{,}0437. Fazemos a divisão complexa:
    \eta=\frac{j25{,}1327412}{0{,}0288 + j0{,}0437}.
    Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado e dividindo por |\gamma|^{2} obtemos (mostrando o resultado numérico):
    \eta\approx400{,}9 + j264{,}1\\ \Omega.
    Em módulo e fase:
    |\eta|\approx480{,}2\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx33{,}5^\circ.
Interpretação: \eta complexa significa que \mathbf{E} e \mathbf{H} não estão exatamente em fase — há uma defasagem imposta pela condutividade do meio.

Passo 8

Cálculo do campo elétrico em z=10\\ \mathrm{m} e t=6\\ \mu\mathrm{s}.
  • Primeiro convertemos a amplitude dada para unidades SI (V/m):
    \mathbf{E}_{0}=\bigl(20\angle90^\circ\bigr)\\ \mathrm{mV/m}=0{,}02\angle90^\circ\\ \mathrm{V/m}\\ \mathrm{a}_{x}.
  • O fasor em z é
    \mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_{0}e^{-\gamma z}.
    Para z=10\\ \mathrm{m},
    e^{-\gamma z}=e^{-(\alpha+j\beta)z}=e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.
    Calculemos os termos:
    \alpha z=0{,}0288\cdot10=0{,}288\quad\Rightarrow\quad e^{-\alpha z}=e^{-0{,}288}\approx0{,}7497,
\beta z=0{,}0437\cdot10=0{,}437\\ \mathrm{rad}\approx25{,}06^\circ.
Portanto o fasor em z=10 é
\mathbf{E}(10)=0{,}02\angle90^\circ\cdot0{,}7497\angle(-25{,}06^\circ) =0{,}014994\angle64{,}94^\circ\\ \mathrm{V/m}\\ \mathrm{a}_{x}.
Em mV/m: amplitude 14{,}994\\ \mathrm{mV/m}, fase 64{,}94^\circ.
  • Voltando ao tempo real: \mathbf{E}(z,t)=\mathrm{Re}\{\mathbf{E}(z)e^{j\omega t}\}. Para o instante dado t=6\\ \mu\mathrm{s}: \omega t=2\cdot10^{6}\cdot6\cdot10^{-6}=12\\ \mathrm{rad}.O argumento do cosseno será \omega t+ (fase do fasor em rad): \phi_{\mathrm{E}}=64{,}94^\circ\approx1{,}134\\ \mathrm{rad}.Então E_{x}(10,6\mu\mathrm{s})=0{,}014994\cos\bigl(12+1{,}134\bigr)\\ \mathrm{V/m}.Computando \cos(13{,}134): note que 13{,}134-4\pi\approx0{,}568\\ \mathrm{rad}, \cos(0{,}568)\approx0{,}842. Assim E_{x}(10,6\mu\mathrm{s})\approx0{,}014994\cdot0{,}842\approx0{,}01262\\ \mathrm{V/m}=12{,}62\\ \mathrm{mV/m}.A direção é \mathrm{a}_{x}. Portanto o valor instantâneo do campo elétrico é aproximadamente 12{,}62\\ \mathrm{mV/m}\\ \mathrm{a}_{x}.

Resposta

(a) \alpha\approx0{,}0288\\ \mathrm{Np/m}
(b) \beta\approx0{,}0437\\ \mathrm{rad/m}
(c) \lambda\approx143{,}7\\ \mathrm{m}
(d) v\approx4{,}58\cdot10^{7}\\ \mathrm{m/s}
(e) \eta\approx400{,}9 + j264{,}1\\ \Omega (módulo \approx480{,}2\\ \Omega, fase \approx33{,}5^\circ)
(f) \mathbf{E}(10,6\mu\mathrm{s})\approx12{,}62\\ \mathrm{mV/m}\\ \mathrm{a}_{x}

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