Uma onda plana uniforme para a qual
, tem o valor
no plano
. O meio onde ela se propaga tem as seguintes características:
e
. Determine os valores numéricos de: (a)
; (b)
; (c)
; (d)
; (f) Epara
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias quantidades de uma onda plana que se propaga em um meio com perdas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dados:
-
. - Campo elétrico no plano
: . (Isto significa amplitude com fase na direção .) - Propriedades do meio:
,
,
. (Usei como unidade usual para condutividade.) - Constantes do vácuo:
, .
O que pedem:
(a) (constante de atenuação, em
);
(b) (constante de fase, em
);
(c) (comprimento de onda, em
);
(d) (velocidade de fase, em
);
(e) (impedância intrínseca do meio, em
);
(f) no ponto
e instante
(valor instantâneo, em
ou
, direção
).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação):
-
A constante de propagação complexa é
. Para um meio linear homogêneo com condutividade , Aquie . Explicação didática:é a raiz quadrada de um número complexo; a parte real mede quanto o campo decai por metro (Np/m) e a parte imaginária mede a variação de fase por metro (rad/m). -
A impedância intrínseca do meio pode ser obtida porou, alternativamente, usando
, Explicação:relaciona e localmente; em meios com perda ela será complexa (tem módulo e fase). -
O campo em
no domínio complexo (fasor) para uma onda que se propaga na direção é Para voltar ao tempo real usamos.
Passo 3
Calcular
e
numéricos:
Também é útil calcular
:
E a razão adimensional que aparece frequentemente:
Comentário:
indica quão “condutor” é o meio em relação à reatância; aqui
não é desprezível, então devemos trabalhar com números complexos completos.
Passo 4
Cálculo de
de forma prática usando a fatorização
onde
. Explico como obter
:
- Primeiro calcule o módulo e o argumento de
:
- A raiz quadrada tem módulo
e argumento metade: Convertendo para forma retangular:
Passo 5
Agora calcule
e, em seguida,
e
.
-
Primeiro
: -
Logo
-
Usando a expressão de
: Multiplicandopor esse número: — na prática isso gera as partes real e imaginária de multiplicadas por . -
Finalmente:
(Arredondei para 3–4 dígitos significativos; você pode manter mais casas se quiser.)
Passo 6
Cálculo de
e
.
-
Comprimento de onda:
-
Velocidade de fase:
Comentário:
é menor que a velocidade da luz no vácuo (
), como esperado em um meio material.
Passo 7
Cálculo da impedância intrínseca
. Vou usar a relação
pois já temos
.
-
Primeiro calcule
: -
Temos
. Fazemos a divisão complexa: Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado e dividindo porobtemos (mostrando o resultado numérico): Em módulo e fase:
Interpretação:
complexa significa que
e
não estão exatamente em fase — há uma defasagem imposta pela condutividade do meio.
Passo 8
Cálculo do campo elétrico em
e
.
-
Primeiro convertemos a amplitude dada para unidades SI (V/m):
-
O fasor em
é Para, Calculemos os termos:
Portanto o fasor em
é
Em mV/m: amplitude
, fase
.
- Voltando ao tempo real:
. Para o instante dado : O argumento do cosseno será (fase do fasor em rad): Então Computando : note que , . Assim A direção é . Portanto o valor instantâneo do campo elétrico é aproximadamente .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(módulo
, fase
)
(f)