A função de probabilidade de uma variável aleatória X é
para
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a) Calcule
e
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a) Calcule
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada um desses valores tem a mesma chance de acontecer, ou seja, $ P(X = x) = \frac{1}{6} $ para cada $ x $. A nossa missão aqui é calcular o valor esperado de $ X $, que é $ E(X) $, e o valor esperado do quadrado de $ X $, que é $ E(X^2) $. Para isso, vamos precisar saber como calcular valores esperados usando as probabilidades dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o valor esperado $ E(X) $. Ele basicamente representa a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir, onde cada valor é ponderado pela sua probabilidade de ocorrer. A fórmula geral para o valor esperado é:
No nosso caso, como $ X $ pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada um tem probabilidade $ \frac{1}{6} $, vamos aplicar essa fórmula para calcular $ E(X) $.
Passo 3
Vamos calcular $ E(X) $ juntando tudo:
Fazendo as contas:
Então, o valor esperado de $ X $ é 3,5.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é o valor esperado do quadrado de $ X $. A fórmula é bem parecida:
Aplicando para cada valor de $ X $:
Fazendo as contas:
Então, o valor esperado de $ X^2 $ é aproximadamente 15,1667.
Resposta
$ E(X) = 3,5 $ e $ E(X^{2}) \approx 15,1667 $.