A função de probabilidade de uma variável aleatória X é P(X=x)=1 / 6 para x= 1,2,3,4,5,6.
a) Calcule E(X) e E(X^2);

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada um desses valores tem a mesma chance de acontecer, ou seja, $ P(X = x) = \frac{1}{6} $ para cada $ x $. A nossa missão aqui é calcular o valor esperado de $ X $, que é $ E(X) $, e o valor esperado do quadrado de $ X $, que é $ E(X^2) $. Para isso, vamos precisar saber como calcular valores esperados usando as probabilidades dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o valor esperado $ E(X) $. Ele basicamente representa a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir, onde cada valor é ponderado pela sua probabilidade de ocorrer. A fórmula geral para o valor esperado é:
E(X)
No nosso caso, como $ X $ pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada um tem probabilidade $ \frac{1}{6} $, vamos aplicar essa fórmula para calcular $ E(X) $.

Passo 3

Vamos calcular $ E(X) $ juntando tudo:
E(X)
Fazendo as contas:
E(X) = 1 cdot 16 + 2 cdot 16 + 3 cdot 16 + 4 cdot 16 + 5 cdot 16 + 6 cdot 16
Então, o valor esperado de $ X $ é 3,5.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é o valor esperado do quadrado de $ X $. A fórmula é bem parecida:
E(X^2)
Aplicando para cada valor de $ X $:
X
Fazendo as contas:
E(X^2) = sumx x^2 cdot P(X = x)
Então, o valor esperado de $ X^2 $ é aproximadamente 15,1667.

Resposta

$ E(X) = 3,5 $ e $ E(X^{2}) \approx 15,1667 $.

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