Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade:
X -2 -1 0 1 c|c|c|c|c|c hline X & -2 & -1 & 0 & 1 & $2$ hline $P(X=x)$ & 0,1 & 0,3 & 0,1 & 0,2 & 0,3 hline
0,1 0,3 0,1 0,2 0,3
a) Obtenha o valor esperado e a variância de X .

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma variável aleatória $ X $ com uma distribuição de probabilidade específica. A tarefa é descobrir o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ Var(X) $ dessa variável. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de valor esperado e variância para variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado representa a média ponderada de todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. A fórmula é:
E(X)
Então, vamos multiplicar cada valor de $ X $ pela sua probabilidade e somar tudo.

Passo 3

Vamos fazer os cálculos:
E(X) = (-2) cdot 0,1 + (-1) cdot 0,3 + 0 cdot 0,1 + 1 cdot 0,2 + 2 cdot 0,3
Calculando cada termo:
(-2) cdot 0,1 = -0,2
(-1) cdot 0,3 = -0,3
0 cdot 0,1 = 0
1 cdot 0,2 = 0,2
2 cdot 0,3 = 0,6
Agora, somamos todos esses valores:
E(X) = -0,2 - 0,3 + 0 + 0,2 + 0,6 = 0,3

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ se afastam do valor esperado. A fórmula para variância é:
Var(X)
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $, que é a média ponderada dos quadrados dos valores de $ X $.

Passo 5

Vamos calcular $ E(X^2) $:
E(X^2)
Então, multiplicamos cada valor de $ X $ ao quadrado pela sua probabilidade e somamos tudo.

Passo 6

Fazendo os cálculos:
E(X^2) = (-2)^2 cdot 0,1 + (-1)^2 cdot 0,3 + 0^2 cdot 0,1 + 1^2 cdot 0,2 + 2^2 cdot 0,3
Calculando cada termo:
(-2)^2 cdot 0,1 = 4 cdot 0,1 = 0,4
(-1)^2 cdot 0,3 = 1 cdot 0,3 = 0,3
0^2 cdot 0,1 = 0 cdot 0,1 = 0
1^2 cdot 0,2 = 1 cdot 0,2 = 0,2
2^2 cdot 0,3 = 4 cdot 0,3 = 1,2
Somando todos esses valores:
E(X^2) = 0,4 + 0,3 + 0 + 0,2 + 1,2 = 2,1

Passo 7

Agora que temos $ E(X) = 0,3 $ e $ E(X^2) = 2,1 $, vamos calcular a variância:
E(X) = 0,3

Resposta

O valor esperado de $ X $ é $ E(X) = 0,3 $ e a variância de $ X $ é $ Var(X) = 2,01 $.

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