Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade:
X
-2
-1
0
1
0,1
0,3
0,1
0,2
0,3
a) Obtenha o valor esperado e a variância de X .
X | -2 | -1 | 0 | 1 |
|
|
0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma variável aleatória $ X $ com uma distribuição de probabilidade específica. A tarefa é descobrir o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ Var(X) $ dessa variável. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de valor esperado e variância para variáveis aleatórias discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado representa a média ponderada de todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. A fórmula é:
Então, vamos multiplicar cada valor de $ X $ pela sua probabilidade e somar tudo.
Passo 3
Vamos fazer os cálculos:
Calculando cada termo:
Agora, somamos todos esses valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ se afastam do valor esperado. A fórmula para variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $, que é a média ponderada dos quadrados dos valores de $ X $.
Passo 5
Vamos calcular $ E(X^2) $:
Então, multiplicamos cada valor de $ X $ ao quadrado pela sua probabilidade e somamos tudo.
Passo 6
Fazendo os cálculos:
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores:
Passo 7
Agora que temos $ E(X) = 0,3 $ e $ E(X^2) = 2,1 $, vamos calcular a variância:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é $ E(X) = 0,3 $ e a variância de $ X $ é $ Var(X) = 2,01 $.