De um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas são escolhidas 3 ao acaso. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X , supondo que as peças são escolhidas:
b) com reposição;
b) com reposição;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre escolher 3 peças de um lote de 20, onde 4 são defeituosas. Queremos descobrir qual é o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas que vamos encontrar, assumindo que escolhemos com reposição. Isso envolve conceitos de probabilidade e estatística, especialmente sobre variáveis aleatórias e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, como estamos escolhendo com reposição, cada escolha é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de escolher uma peça defeituosa permanece a mesma em cada tentativa.
Passo 3
Vamos definir a variável aleatória $ X $ como o número de peças defeituosas encontradas em 3 tentativas. Como cada tentativa é independente e a probabilidade de sucesso (escolher uma defeituosa) é constante, $ X $ segue uma distribuição binomial.
Passo 4
A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). No nosso caso:
- $ n = 3 $ (pois escolhemos 3 peças)
- $ p = \frac{4}{20} = 0.2 $ (probabilidade de escolher uma peça defeituosa)
Passo 5
O valor esperado $ E[X] $ de uma variável binomial é dado por:
Substituindo os valores:
Então, esperamos encontrar, em média, 0.6 peças defeituosas.
Passo 6
O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância $ Var(X) $. A variância para a distribuição binomial é:
Calculando:
Então, o desvio padrão é:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é 0.6 e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 0.6928.