Q14: Seja E_{p \times n} a forma totalmente escalonada da matriz A_{m \times n} e sejam \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m} e \vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}, respectivamente, as linhas de A e de E :
A=\left[\begin{array}{c} -\vec{v}_{1}- \\\ \vdots \\\\ -\vec{v}_{m}- \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{c} -\vec{w}_{1}- \\\ \vdots \\\\ -\vec{w}_{p}- \end{array}\right]=E
Assinale a única afirmação FALSA:
(A) A dimensão de span \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} é p.
(B) Se p<m, então \vec{v}_{m} é CL de \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m-1}.
(C) \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} é LI se, e somente se, p=m.
(D) \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} e \operatorname{span}\left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}\right\} são iguais.
(E) \left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}\right\} é LI.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada uma matriz A de tamanho m\times n cujas linhas são \vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{m}.
  • A matriz A é transformada por operações elementares de linha em uma forma escalonada E de tamanho p\times n cujas linhas são \vec{w}_{1},\ldots,\vec{w}_{p}. Escreve-se A\sim E.
  • Assim, E tem exatamente p linhas não-nulas (essas são as linhas da forma escalonada).
  • O enunciado pede para identificar qual das alternativas (A)–(E) é FALSA, sabendo que apenas uma está errada.
Passo importante: a partir daqui vou usar essas informações sem pedir nada a mais. Vou analisar cada afirmativa e ensinar os conceitos necessários para entender a justificativa.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas (explicação passo a passo do que vamos usar).
  • Definição de span (espaço gerado): \operatorname{span}\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares
\{\,c_1\vec{u}_1+\cdots+c_k\vec{u}_k \mid c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\,\}.
Isto é, qualquer vetor do span é uma soma ponderada dos geradores.
  • Definição de combinação linear: dizer que \vec{x} é combinação linear de \vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k significa que existem escalares c_1,\dots,c_k tal que
\vec{x}=c_1\vec{u}_1+\cdots+c_k\vec{u}_k.
  • Independência linear (LI) e dependência linear (LD): o conjunto \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LI se a única solução do sistema
c_1\vec{u}_1+\cdots+c_k\vec{u}_k=\vec{0}
é c_1=\cdots=c_k=0. Se existe solução não-trivial, o conjunto é LD.
  • Dimensão do espaço gerado por linhas (posto das linhas): o número máximo de linhas linearmente independentes entre as linhas de A é chamado posto das linhas; aqui denotado por p. Em termos práticos, ao escalonar A por operações elementares de linha obtém-se E com exatamente p linhas não-nulas; essas p linhas não-nulas de E são linearmente independentes e geram o mesmo espaço de linhas de A.
  • Propriedade chave sobre operações de linha: operações elementares de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas (o row space). Ou seja,
\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_m\}=\operatorname{span}\{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_p\}.
Explicação intuitiva: cada operação de linha é substituir as linhas por combinações lineares entre elas (permutação, multiplicar linha por escalar, adicionar múltiplo de uma linha em outra), portanto o conjunto de todas as combinações lineares possíveis permanece o mesmo.

Passo 3

Justificando a alternativa (A): “A dimensão de \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\} é p.”
  • Pelo item anterior, \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\}=\operatorname{span}\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_p\}.
  • As p linhas não-nulas de E formam um conjunto de geradores minimal (são linearmente independentes — justificarei isso em detalhe no próximo passo), logo a dimensão do espaço gerado por elas é exatamente p.
  • Portanto a dimensão de \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\} também é p.
Conclusão: a alternativa (A) é verdadeira.

Passo 4

Justificando a alternativa (E): " \{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_p\} é LI."
Vou provar por uma razão direta usando a estrutura escalonada.
  • Na forma escalonada E, cada linha não-nula tem um primeiro elemento não-nulo (pivot) numa coluna estritamente à direita do pivot da linha anterior. Chame as colunas-pivô de j_1<j_2<\cdots<j_p.
  • Suponha que exista combinação linear
\alpha_1\vec{w}_1+\alpha_2\vec{w}_2+\cdots+\alpha_p\vec{w}_p=\vec{0}.
  • Olhe a coluna j_p (o último pivot). Nas linhas \vec{w}_1,\dots,\vec{w}_{p-1} essa coluna tem entrada zero (porque pivôs anteriores estão em colunas à esquerda), e em \vec{w}_p a entrada é o pivot não-nulo. Assim, olhando a componente na coluna j_p da combinação, obtemos \alpha_p\cdot(\text{pivot})=0, daí \alpha_p=0.
  • Repetindo de forma regressiva para j_{p-1},j_{p-2},\dots encontramos \alpha_{p-1}=\cdots=\alpha_1=0. Logo todos os coeficientes são zero e o conjunto é LI.
Conclusão: (E) é verdadeira.

Passo 5

Justificando a alternativa (D): " \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\} e \operatorname{span}\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_p\} são iguais."
  • Isto foi afirmado no Passo 2 como propriedade chave: operações elementares de linha não mudam o espaço gerado pelas linhas.
  • Mais formalmente: cada linha de E é combinação linear das linhas de A (porque E resulta de aplicar combinações lineares às linhas de A), então \operatorname{span}\{\vec{w}_i\}\subseteq\operatorname{span}\{\vec{v}_j\}. Como as operações são reversíveis, cada linha de A é combinação linear das linhas de E, então a inclusão inversa também vale. Assim os spans coincidem.
Conclusão: (D) é verdadeira.

Passo 6

Justificando a alternativa (C): " \{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m\} é LI se, e somente se, p=m."
  • Se \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_m\} é LI, então o espaço gerado tem dimensão m. Pelo Passo 3 a dimensão é p. Logo p=m.
  • Reciprocamente, se p=m, a dimensão do espaço gerado pelas linhas é m, então não há relação linear não-trivial entre as m linhas; portanto elas são LI.
Conclusão: (C) é verdadeira.

Passo 7

Analisando a alternativa (B) e construindo um contraexemplo (a parte didática mais importante).
A alternativa (B) diz: “Se p<m, então \vec{v}_{m} é combinação linear de \vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{m-1}.” Vamos ver se isso precisa ser sempre verdade.
  • Entendimento da afirmação: ela exige que, sempre que as linhas totais são linearmente dependentes (isto é, p<m), a última linha em particular ( \vec{v}_m) seja combinação linear das anteriores. Isso é uma afirmação sobre a ordem das linhas: exige que a dependência envolva necessariamente a última linha como dependente.
  • Mas a dependência linear entre linhas não dá garantias sobre qual linha específica fica dependente; pode ser qualquer uma das linhas. Em particular, pode haver um exemplo em que alguma linha anterior é combinação das demais, e a última linha é independente das anteriores.
Contraexemplo concreto (muito simples) — vou construir uma matriz A com m=3, n=2 e posto p=2 (logo p<m), e mostrar que \vec{v}_3 NÃO é combinação linear de \vec{v}_1,\vec{v}_2.
  • Tome as linhas
\vec{v}_1=(1,0),\qquad \vec{v}_2=(2,0),\qquad \vec{v}_3=(0,1).
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Observe que \vec{v}_2=2\vec{v}_1, portanto as três linhas não são todas independentes; o posto p é 2 (linhas independentes podem ser \vec{v}_1 e \vec{v}_3). Assim p=2<m=3.
  • Agora pergunte: existe c_1,c_2 tais que
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2=\vec{v}_3 ?
Escrevendo coordenadas:
c_1(1,0)+c_2(2,0)=(0,1).
O lado esquerdo tem segunda coordenada 0, enquanto a segunda coordenada do lado direito é 1. Isso é impossível. Logo \vec{v}_3 NÃO é combinação linear de \vec{v}_1,\vec{v}_2.
  • Portanto encontramos um caso com p<m em que \vec{v}_m não é combinação linear das anteriores. Isso mostra que a afirmação (B) não é verdadeira em geral: a dependência linear existe, mas pode envolver outras linhas, não necessariamente a última.
Observação intuitiva: a ordem das linhas importa para a afirmação (B). Somente se o enunciado dissesse “existe alguma linha \vec{v}_k que é combinação linear das outras” então a afirmação seria verdadeira quando p<m. Mas exigir que seja especificamente \vec{v}_m é falso.
Conclusão: (B) é falsa (contraexemplo apresentado).]

Passo 8

Resumo final das verificações:
  • (A) verdadeira.
  • (B) falsa (contraponto e contraexemplo explícito).
  • (C) verdadeira.
  • (D) verdadeira.
  • (E) verdadeira.

Resposta

(B)

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