(Questão 03 ) [2,0 pontos ] \operatorname{Sejam} E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) duas bases tais que \overrightarrow{f_{1}}=2 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}+2 \overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=7 \overrightarrow{e_{3}}. Exprima o vetor \vec{u}=\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}} na base E.

Passo 1

O enunciado dá duas bases E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) e informa as expressões de \overrightarrow{f_{i}} em função dos vetores da base E:
\overrightarrow{f_{1}}=2\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}},\qquad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}+2\overrightarrow{e_{3}},\qquad \overrightarrow{f_{3}}=7\overrightarrow{e_{3}}.
A pergunta do problema é: expressar o vetor \vec{u}=\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}} na base E. Ou seja, encontrar os coeficientes x_{1},x_{2},x_{3} tais que
\vec{u}=x_{1}\overrightarrow{e_{1}}+x_{2}\overrightarrow{e_{2}}+x_{3}\overrightarrow{e_{3}}.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo): uma base E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores da base:
\vec{v}=a_{1}\overrightarrow{e_{1}}+a_{2}\overrightarrow{e_{2}}+a_{3}\overrightarrow{e_{3}},
onde a_{1},a_{2},a_{3} são as coordenadas de \vec{v} na base E. Uma propriedade útil e simples: a soma de vetores corresponde à soma das suas combinações lineares — isto é, pode-se somar coeficiente a coeficiente.

Passo 3

Vamos substituir as expressões dadas de \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} na definição de \vec{u}. Pelo enunciado:
\vec{u}=\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}}.
Substituindo cada \overrightarrow{f_{i}} por sua expressão em E:
\vec{u}=(2\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}})+(\overrightarrow{e_{2}}+2\overrightarrow{e_{3}})+(7\overrightarrow{e_{3}}).

Passo 4

Agora agrupamos termos semelhantes (coeficientes de \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e somamos coeficientes:
  • Coeficiente de \overrightarrow{e_{1}}:
2 \quad(\text{vem apenas de }\overrightarrow{f_{1}}).
  • Coeficiente de \overrightarrow{e_{2}}:
1 \quad(\text{vem apenas de }\overrightarrow{f_{2}}).
  • Coeficiente de \overrightarrow{e_{3}}: somam-se -1 (de \overrightarrow{f_{1}}), +2 (de \overrightarrow{f_{2}}) e +7 (de \overrightarrow{f_{3}}):
-1 + 2 + 7 = 8.
Portanto, ao juntar tudo:
\vec{u}=2\overrightarrow{e_{1}}+1\overrightarrow{e_{2}}+8\overrightarrow{e_{3}}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: as coordenadas de \vec{u} na base E são exatamente os coeficientes que obtivemos ao agrupar termos, ou seja (2,1,8). Se fosse necessário conferir, bastaria reescrever \vec{u} como soma dos três vetores em E e verificar que cada componente bate com a soma dos coeficientes correspondentes (como fizemos).

Resposta

\vec{u}=2\overrightarrow{e_{1}}+1\overrightarrow{e_{2}}+8\overrightarrow{e_{3}}
\\ [\vec{u}]_{E}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]8\end{pmatrix}]

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