(Questão 03 ) [2,0 pontos ] \operatorname{Sejam} E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) duas bases tais que \overrightarrow{f_{1}}=2 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}+2 \overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=7 \overrightarrow{e_{3}}. Exprima o vetor \vec{u}=\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}} na base E.
Passo 1
O enunciado dá duas bases E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) e informa as expressões de \overrightarrow{f_{i}} em função dos vetores da base E:
A pergunta do problema é: expressar o vetor \vec{u}=\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}} na base E. Ou seja, encontrar os coeficientes x_{1},x_{2},x_{3} tais que
Conceito importante (passo-a-passo): uma base E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores da base:
onde a_{1},a_{2},a_{3} são as coordenadas de \vec{v} na base E. Uma propriedade útil e simples: a soma de vetores corresponde à soma das suas combinações lineares — isto é, pode-se somar coeficiente a coeficiente.
Passo 3
Vamos substituir as expressões dadas de \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} na definição de \vec{u}. Pelo enunciado:
Interpretação final e checagem rápida: as coordenadas de \vec{u} na base E são exatamente os coeficientes que obtivemos ao agrupar termos, ou seja (2,1,8). Se fosse necessário conferir, bastaria reescrever \vec{u} como soma dos três vetores em E e verificar que cada componente bate com a soma dos coeficientes correspondentes (como fizemos).