Uma função real f é dita uma função par se o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, isto é, f(-x)=f(x), forall x in Dom(f). E será uma função ímpar se o seu gráfico é simétrico em relação à origem, isto é, f(-x)=-f(x), forall x in Dom(f).
Verifique que:
Para qualquer função f temos que 12[f(x)-f(-x)] é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a função definida por g(x)=tfrac12[f(x)-f(-x)] é ímpar, ou seja, que ela satisfaz g(-x)=-g(x). O conteúdo é definição de função ímpar e vamos precisar usar a propriedade de que, se x pertence ao domínio de f, então -x também pertence.

Passo 2

Definimos g(x)=tfrac12l[f(x)-f(-x)r]. Aqui estamos construindo uma nova função a partir de f. Para mostrar que g é ímpar, a gente deve calcular g(-x) e comparar com g(x).

Passo 3

Calculamos g(-x). Substituindo -x no lugar de x, temos
g(-x)=tfrac12l[f(-x)-f(-(-x))r]=tfrac12l[f(-x)-f(x)r]

Passo 4

Repare que
tfrac12l[f(-x)-f(x)r]= -tfrac12l[f(x)-f(-x)r]= -g(x)
Isso mostra exatamente que g(-x)=-g(x), ou seja, g é ímpar.

Resposta

A função tfrac12[f(x)-f(-x)] é ímpar, pois sua definição satisfaz g(-x)=-g(x) para todo x em seu domínio.

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