Uma função real f é dita uma função par se o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, isto é, f(-x)=f(x), forall x in Dom(f). E será uma função ímpar se o seu gráfico é simétrico em relação à origem, isto é, f(-x)=-f(x), forall x in Dom(f).
Verifique que:
Se f e g são funções ímpares, então f cdot g e fg são funções pares.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos mostrar que, se f e g são funções ímpares, então f cdot g e f/g são funções pares. O conteúdo principal é a definição de funções pares e ímpares. Função ímpar satisfaz f(-x) = -f(x) e função par satisfaz f(-x) = f(x). Para a divisão, consideramos Dom(f) cap Dom(g) e assumimos g(x) neq 0.

Passo 2

Aplicando ao produto, definimos (f cdot g)(-x). Pela definição de produto de funções, temos:
(f cdot g)(-x) = f(-x) cdot g(-x) = (-f(x)) cdot (-g(x)) = f(x) cdot g(x) = (f cdot g)(x)
Como (f cdot g)(-x) = (f cdot g)(x) para todo x, f cdot g é função par.

Passo 3

Aplicando à divisão, consideramos x tal que g(x) neq 0. Então:
gl( fg gr)(-x) = f(-x)g(-x) = -f(x)-g(x) = f(x)g(x) = gl( fg gr)(x)
Portanto, f/g também satisfaz a condição de função par.

Resposta

As funções f cdot g e f/g são pares.

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