Uma função de resfriamento segue a Lei de Newton: T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right) e^{-k t}. Sabendo que T_{0}=90^{\circ} \mathrm{C}, T_{a}=20^{\circ} \mathrm{C} e k=0,3, encontre a taxa de resfriamento no instante t=5.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura T(t) de um objeto segundo a Lei de Newton do resfriamento:
T(t)=T_{a}+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t}
com T_{0}=90^\circ\text{C}, T_{a}=20^\circ\text{C} e k=0,3. Pede-se a taxa de resfriamento, ou seja, T'(t), no instante t=5.

Passo 2

Para achar a taxa de resfriamento calculamos a derivada de
T(t)=T_{a}+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t}.
Como T_{a} é constante,
T'(t)=0+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)\frac{d}{dt}\bigl(e^{-k t}\bigr).
E sabemos que \frac{d}{dt}e^{-k t}=-k\,e^{-k t}. Logo,
T'(t)=-k\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t}.

Passo 3

Substituindo T_{0}-T_{a}=90-20=70 e k=0,3, obtemos
T'(t)=-0,3\cdot70\,e^{-0,3\,t}=-21\,e^{-0,3\,t}.
Para t=5,
T'(5)=-21\,e^{-0,3\cdot5}=-21\,e^{-1,5}.

Passo 4

Calculando numericamente e^{-1,5}\approx0,22313, temos
T'(5)\approx-21\times0,22313\approx-4,69.
Isso significa que, no instante t=5, a temperatura está caindo a cerca de -4,69^\circ\text{C} por unidade de tempo.

Resposta

A taxa de resfriamento no instante t=5 é
T'(5)=-21\,e^{-1,5}\approx-4,69^\circ\text{C/unidade de tempo}.

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