O consumo energético de um edifício é modelado por E(t)=120+80 \ln (t+1), com t em horas de funcionamento contínuo. Calcule a taxa de crescimento do consumo energético no instante t=3.

Passo 1

O enunciado dá a função de consumo energético
E(t) = 120 + 80 \ln(t+1),
onde t é o tempo em horas, e pede a taxa de crescimento do consumo no instante t=3. Para isso, vamos calcular a derivada E'(t) aplicando a regra da derivada do logaritmo natural e depois avaliar em t=3.

Passo 2

Derivando E(t) em relação a t, temos
E'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[120\bigr] + 80 \,\frac{d}{dt}\bigl[\ln(t+1)\bigr].
Sabemos que \frac{d}{dt}[120]=0 e \frac{d}{dt}[\ln(t+1)]=\frac{1}{t+1}. Logo,
E'(t) = 0 + 80 \cdot \frac{1}{t+1} = \frac{80}{t+1}.

Passo 3

Agora, basta avaliar em t=3:
E'(3) = \frac{80}{3+1} = \frac{80}{4} = 20.

Resposta

A taxa de crescimento do consumo energético no instante t=3 é 20 (unidades de energia por hora).

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