Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor (2,2), no ponto (1,2) é igual a 3 na direção do vetor (1,-1), determine o gradiente da função no ponto (1,2).

Passo 1

Estamos buscando o gradiente nabla f(1,2)=(a,b) de uma função f em (1,2), sabendo que suas derivadas direcionais valem 2 na direção de (2,2) e 3 na direção de (1,-1). Vamos usar que a derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é dada por Duf=nabla fcdotu.

Passo 2

Para a direção (2,2), primeiro normalizamos: u1=(2,2)|(2,2)|=(2,2)2raiz2=l(1raiz2,1raiz2r)
Como Du1f=2, temos
nabla f(1,2)cdotu1=a1raiz2+b1raiz2=2implies a+b=2raiz2

Passo 3

Para a direção (1,-1), normalizamos:$$\mathbf{u}_2=\frac{(1,-1)}{|(1,-1)|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt2}=\Bigl(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\Bigr).
u2=(1,-1)|(1,-1)|=(1,-1)raiz2=l(1raiz2,-1raiz2r) \nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}_2=a\frac1{\sqrt2}-b\frac1{\sqrt2}=3\implies a-b=3\sqrt2.$$

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
a+b=2raiz2,a-b=3raiz2
Somando as equações: 2a=5raiz2, logo a=tfrac5raiz22. Subtraindo: 2b=-raiz2, logo b=-tfracraiz22.

Resposta

nabla f(1,2)=l(5raiz22,,-raiz22r).

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