Foi proposto a um aluno que determinasse a derivada da função diferenciável f dada por f(x, y)=x^2 e^y no ponto (1,0) na direção e sentido do vetor v=(4,3) obtendo a seguinte resposta: Se u=v|v|, temos:
partial fpartial u(1,0) & =lang<=nabla f(1,0), urang<= & =(85, 35)
(a) Em uma olhada rápida, como você sabe que a resposta dele está errada?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} e^{y} $, e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto $ (1, 0) $ na direção e sentido do vetor $ \vec{v} = (4, 3) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $ e como usar o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico mede a taxa de variação da função naquela direção. Matematicamente, ela é calculada usando o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada. O gradiente, $ \nabla f $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e seus componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} = (4, 3) $. O vetor unitário é obtido dividindo-se cada componente do vetor original pela sua norma (comprimento):
u
Então,
v = (4, 3)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. As derivadas parciais são:
f(x, y)
partial fpartial x = 2x e^y
No ponto $ (1, 0) $:
partial fpartial y = x^2 e^y

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
partial fpartial u(1, 0) = nabla f(1,0) cdot u = (2, 1) cdot ( 45, 35 ) = 2 cdot 45 + 1 cdot 35 = 85 + 35 = 115

Resposta

A resposta do aluno está errada porque ele apresentou a derivada direcional como um vetor (85, 35), mas a derivada direcional deve ser um valor escalar. O valor correto da derivada direcional é 115.

Exercícios relacionados