Foi proposto a um aluno que determinasse a derivada da função diferenciável
dada por
no ponto
na direção e sentido do vetor
obtendo a seguinte resposta: Se
, temos:
(a) Em uma olhada rápida, como você sabe que a resposta dele está errada?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} e^{y} $, e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto $ (1, 0) $ na direção e sentido do vetor $ \vec{v} = (4, 3) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $ e como usar o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico mede a taxa de variação da função naquela direção. Matematicamente, ela é calculada usando o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada. O gradiente, $ \nabla f $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e seus componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} = (4, 3) $. O vetor unitário é obtido dividindo-se cada componente do vetor original pela sua norma (comprimento):
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. As derivadas parciais são:
No ponto $ (1, 0) $:
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A resposta do aluno está errada porque ele apresentou a derivada direcional como um vetor
, mas a derivada direcional deve ser um valor escalar. O valor correto da derivada direcional é
.