Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e a direção em que ocorre:
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar, no ponto
, o valor máximo da derivada direcional da função
e a direção em que esse máximo ocorre. Vamos usar a teoria de derivada direcional: o valor máximo da derivada direcional de
em um ponto é igual à norma do gradiente
nesse ponto, e a direção em que esse máximo acontece é exatamente a direção do vetor gradiente.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. Usando a definição
, chegamos em:
$$\nabla f(x,y,z)=\bigl(y\cos(xy),;x\cos(xy)-z\sin(yz),;-y\sin(yz)\bigr)
$$
Passo 3
Agora avaliamos em
. Como
, temos:
$$
\nabla f(3,0,7)=(0,;3\cos(0)-7\sin(0),;0)=(0,3,0).
\nabla f(3,0,7)=(0,;3\cos(0)-7\sin(0),;0)=(0,3,0).
$$
Passo 4
O valor máximo da derivada direcional é a norma desse vetor e a direção é a sua versão unitária. Assim:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional em P é 3, e isso ocorre na direção do vetor unitário (0,1,0).