Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P e a direção em que ocorre: f(x, y, z)=sen(x y)+cos (y z), P=(3,0,7).

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar, no ponto P=(3,0,7), o valor máximo da derivada direcional da função f(x,y,z)=sin(xy)+cos(yz) e a direção em que esse máximo ocorre. Vamos usar a teoria de derivada direcional: o valor máximo da derivada direcional de f em um ponto é igual à norma do gradiente nabla f nesse ponto, e a direção em que esse máximo acontece é exatamente a direção do vetor gradiente.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Usando a definição nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y,partial f/partial z), chegamos em:
$$\nabla f(x,y,z)=\bigl(y\cos(xy),;x\cos(xy)-z\sin(yz),;-y\sin(yz)\bigr)
$$

Passo 3

Agora avaliamos em P=(3,0,7). Como y=0, temos:
$$
\nabla f(3,0,7)=(0,;3\cos(0)-7\sin(0),;0)=(0,3,0).
$$

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é a norma desse vetor e a direção é a sua versão unitária. Assim:
|nabla f(3,0,7)|=raiz0^2+3^2+0^2=3,
13(0,3,0)=(0,1,0)

Resposta

O valor máximo da derivada direcional em P é 3, e isso ocorre na direção do vetor unitário (0,1,0).

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