Verifique onde a função f(x)=x^{2} é crescente e onde ela é decrescente. Idem para a função g(x)=|x-1|+2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar em quais intervalos as funções
f(x)=x^2
e
g(x)=|x-1|+2
são crescentes e decrescentes. O conteúdo envolvido é análise de monotonicidade usando derivada ou definição de valor absoluto. Para f usaremos a derivada; para g faremos a análise por partes definindo o módulo.

Passo 2

Para f(x)=x^2 calculamos a derivada
f'(x)=2x.
Pela regra de monotonicidade, se f'(x)>0 então f é crescente, e se f'(x)<0 então f é decrescente. Assim:
– Para x>0 temos 2x>0, logo f é crescente em (0,\infty).
– Para x<0 temos 2x<0, logo f é decrescente em (-\infty,0).

Passo 3

Para g(x)=|x-1|+2 escrevemos o valor absoluto em duas partes:
– Se x<1, então |x-1|=-(x-1) e
g(x)=-(x-1)+2=-x+3,
cuja derivada é \,g'(x)=-1<0. Logo g é decrescente em (-\infty,1).
– Se x>1, então |x-1|=x-1 e
g(x)=(x-1)+2=x+1,
cuja derivada é \,g'(x)=1>0. Logo g é crescente em (1,\infty).
No ponto x=1 há um “canto” (derivadas laterais diferentes), mas não altera os intervalos de monotonicidade.

Resposta

f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
g é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (1,\infty).

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