A função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação negativa unitária é dada a seguir. Deseja-se uma resposta ao degrau com instante de pico ( t_{p} ) anterior a 1.1s e sobre-sinal inferior a 5 \%. Determine um valor admissível para k.
G(s)=\frac{k}{s(s+2)}

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)=\frac{k}{s(s+2)}
e realimentação unitária negativa. Queremos a resposta ao degrau com instante de pico t_{p}<1{,}1,s e sobre-sinal M_{p}<5\%. Para resolver, vamos obter a função de transferência de malha fechada, identificar os parâmetros naturais \omega_{n} e \zeta de um sistema de segunda ordem e aplicar as fórmulas padrões de M_{p} e t_{p}.

Passo 2

A função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{k}{s(s+2)+k}=\frac{k}{s^{2}+2s+k}\,.
Comparando com o polinômio característico padrão
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}=0
vemos que
\omega_{n}^{2}=k \quad\text{e}\quad 2\zeta\omega_{n}=2 \;\Longrightarrow\; \zeta=\frac{2}{2\omega_{n}}=\frac{1}{\omega_{n}}=\frac{1}{\sqrt{k}}.

Passo 3

Para o sobre-sinal M_{p}<5\% usamos
M_{p} = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} <0{,}05.
Tomando logaritmo negativo, chega-se a
\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} > \ln\!\bigl(20\bigr)\approx 2{,}9957 \;\Longrightarrow\; \zeta>0{,}69.
Como \zeta=1/\sqrt{k}, isso exige
\frac{1}{\sqrt{k}}>0{,}69 \;\Longrightarrow\; k<\frac{1}{0{,}69^{2}}\approx 2{,}10.

Passo 4

Para o instante de pico
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}} \quad\text{com}\quad \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}
exigimos t_{p}<1{,}1,s, ou seja
\frac{\pi}{\sqrt{k}\,\sqrt{1-\tfrac1{k}}}<1{,}1 \;\Longrightarrow\; k-1> \Bigl(\frac{\pi}{1{,}1}\Bigr)^{2}\approx 8{,}12 \;\Longrightarrow\; k>9{,}12.

Passo 5

Temos então duas condições contraditórias:
k<2{,}10 \quad\text{e}\quad k>9{,}12,
que não se sobrepõem.

Resposta

Não existe valor de k que satisfaça simultaneamente M_{p}<5\% e t_{p}<1{,}1,s.

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