Um sistema possui uma equação característica
E6.15
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equação característica.
Resposta: (a) O sistema é marginalmente estável. (b)
2i
E6.15
Resposta: (a) O sistema é marginalmente estável. (b)
Passo 1
O enunciado dá a equação característica
e pede (a) testar estabilidade pelo critério de Routh–Hurwitz e (b) achar suas raízes.
Para (a) vamos montar a tabela de Routh; para (b) usamos divisão sintética para extrair fatores lineares e quadráticos.
Para (a) vamos montar a tabela de Routh; para (b) usamos divisão sintética para extrair fatores lineares e quadráticos.
Passo 2
Construindo a tabela de Routh com os coeficientes em ordem decrescente de potência:
Passo 3
Na linha
o primeiro elemento ficou exatamente zero (caso especial). Isso indica que há pares de raízes simétricas sobre o eixo imaginário, sem atravessar para o semiplano Re
. Pelo critério de Routh–Hurwitz, esse “zero row” implica marginal stability (raízes puramente imaginárias, sem coeficientes positivos exclusivos).
Passo 4
Para achar as raízes, fazemos divisão sintética por
e por
e
na equação original), obtendo como quociente
Esse polinômio de quarto grau fatoriza em
As raízes são, portanto:
-
-
- raízes de
que são - raízes de
que são )
Resposta
(a) O sistema é marginalmente estável.
(b) As raízes são
(b) As raízes são