Um sistema possui uma equação característica
E6.15
\begin{aligned} q(s)=s^{6}+9 s^{5}+ & 31,25 s^{4}+61,25 s^{3} \\\ & +67,75 s^{2}+14,75 s+15=0 \end{aligned}
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equação característica.
Resposta: (a) O sistema é marginalmente estável. (b) s=-3,-4,-1 \pm 2i \pm 0,5 j^{\prime\prime}

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
q(s)=s^{6}+9s^{5}+31{,}25s^{4}+61{,}25s^{3}+67{,}75s^{2}+14{,}75s+15=0
e pede (a) testar estabilidade pelo critério de Routh–Hurwitz e (b) achar suas raízes.
Para (a) vamos montar a tabela de Routh; para (b) usamos divisão sintética para extrair fatores lineares e quadráticos.

Passo 2

Construindo a tabela de Routh com os coeficientes em ordem decrescente de potência:
\begin{array}{c|cccc} s^6 & 1 & 31{,}25 & 67{,}75 & 15\\\ s^5 & 9 & 61{,}25 & 14{,}75 & 0\\hline s^4 & \displaystyle\frac{9\cdot31{,}25-1\cdot61{,}25}{9} & \displaystyle\frac{9\cdot67{,}75-1\cdot14{,}75}{9} & 15 & \\\ & 24{,}444\ldots & 66{,}111\ldots & 15 & \\hline s^3 & \displaystyle\frac{24{,}444\cdot61{,}25-9\cdot66{,}111}{24{,}444} & \displaystyle\frac{24{,}444\cdot14{,}75-9\cdot15}{24{,}444} & 0 & \\\ & 36{,}885\ldots & 9{,}2069\ldots & 0 & \\hline s^2 & \displaystyle\frac{36{,}885\cdot66{,}111-24{,}444\cdot9{,}2069}{36{,}885} & \displaystyle\frac{36{,}885\cdot15-24{,}444\cdot0}{36{,}885} & & \\\ & 60{,}0413\ldots & 15 & & \\hline s^1 & \displaystyle\frac{60{,}0413\cdot9{,}2069-36{,}885\cdot15}{60{,}0413} & 0 & & \\\ & 0 & 0 & & \\hline s^0 & 15 & & & \end{array}

Passo 3

Na linha s^1 o primeiro elemento ficou exatamente zero (caso especial). Isso indica que há pares de raízes simétricas sobre o eixo imaginário, sem atravessar para o semiplano Re \{s\}>0. Pelo critério de Routh–Hurwitz, esse “zero row” implica marginal stability (raízes puramente imaginárias, sem coeficientes positivos exclusivos).

Passo 4

Para achar as raízes, fazemos divisão sintética por s+3 e por s+4$ (testando \(s=-3 e s=-4 na equação original), obtendo como quociente
s^{4}+2s^{3}+5{,}25s^{2}+0{,}5s+1{,}25.
Esse polinômio de quarto grau fatoriza em
(s^{2}+2s+5)\,(s^{2}+0{,}25).
As raízes são, portanto:
  • s=-3
  • s=-4
  • raízes de s^{2}+2s+5=0 que são s=-1\pm2\,\mathrm{i}
  • raízes de s^{2}+0{,}25=0 que são s=\pm0{,}5\,\mathrm{i})

Resposta

(a) O sistema é marginalmente estável.
(b) As raízes são
s=-3,\quad s=-4,\quad s=-1\pm2\,\mathrm{i},\quad s=\pm0{,}5\,\mathrm{i}.

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