Um sistema possui uma equação característica
E6.16
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equação característica.
E6.16
Passo 1
O enunciado dá a equação característica
e pede:
(a) verificar estabilidade pelo critério de Routh–Hurwitz, isto é, montar a tabela de Routh e conferir se todos os elementos da primeira coluna são positivos;
(b) encontrar explicitamente as raízes de .
(a) verificar estabilidade pelo critério de Routh–Hurwitz, isto é, montar a tabela de Routh e conferir se todos os elementos da primeira coluna são positivos;
(b) encontrar explicitamente as raízes de
Passo 2
Montamos a primeira e segunda linhas da tabela de Routh:
Passo 3
Calculamos a linha
pelos determinantes:
Logo a linha
é
Passo 4
Calculamos a linha
:
O segundo elemento é zero. Assim
Passo 5
A última linha
traz o coeficiente constante:
A primeira coluna da tabela é
, todos positivos. Portanto, pelo critério de Routh–Hurwitz, o sistema é estável.
Passo 6
Para achar as raízes, fatoramos
em dois quadráticos:
Comparando coeficientes:
Testando fatores inteiros de
, achamos
pois
,
,
e
.
Passo 7
Assim
As raízes de
são
As raízes de
são
Resposta
(a) O sistema é estável, pois todos os termos da primeira coluna da tabela de Routh são positivos.
(b) As raízes são
(b) As raízes são