Um sistema possui uma equação característica
E6.16
q(s)=s^{4}+9 s^{3}+45 s^{2}+87 s+50=0
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equação característica.

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
q(s)=s^{4}+9s^{3}+45s^{2}+87s+50=0
e pede:
(a) verificar estabilidade pelo critério de Routh–Hurwitz, isto é, montar a tabela de Routh e conferir se todos os elementos da primeira coluna são positivos;
(b) encontrar explicitamente as raízes de q(s).

Passo 2

Montamos a primeira e segunda linhas da tabela de Routh:
\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 45 & 50\\\ s^3 & 9 & 87 & 0 \end{array}

Passo 3

Calculamos a linha s^2 pelos determinantes:
\text{Elemento}_{s^2,1} =\frac{9\cdot45-1\cdot87}{9} =\frac{405-87}{9} =\frac{318}{9} =35{,}333\ldots
\text{Elemento}_{s^2,2} =\frac{9\cdot50-1\cdot0}{9} =\frac{450}{9} =50
Logo a linha s^2 é
\begin{array}{c|cc} s^2 & 35{,}333\ldots & 50 \end{array}

Passo 4

Calculamos a linha s^1:
\text{Elemento}_{s^1,1} =\frac{35{,}333\ldots\cdot87-9\cdot50}{35{,}333\ldots} =\frac{3076-450}{35{,}333\ldots} \approx74{,}333\ldots
O segundo elemento é zero. Assim
\begin{array}{c|cc} s^1 & 74{,}333\ldots & 0 \end{array}

Passo 5

A última linha s^0 traz o coeficiente constante:
\begin{array}{c|c} s^0 & 50 \end{array}
A primeira coluna da tabela é \{1,\;9,\;35{,}333\ldots,\;74{,}333\ldots,\;50\}, todos positivos. Portanto, pelo critério de Routh–Hurwitz, o sistema é estável.

Passo 6

Para achar as raízes, fatoramos q(s) em dois quadráticos:
(s^2+as+b)(s^2+cs+d) =s^4+(a+c)s^3+(ac+b+d)s^2+(ad+bc)s+bd.
Comparando coeficientes:
a+c=9,\quad ac+b+d=45,\quad ad+bc=87,\quad bd=50.
Testando fatores inteiros de 50, achamos
b=2,\\ d=25,\\ a=3,\\ c=6,
pois 3+6=9, 3\cdot6+2+25=45, 3\cdot25+6\cdot2=87 e 2\cdot25=50.

Passo 7

Assim
q(s)=(s^2+3s+2)(s^2+6s+25).
As raízes de s^2+3s+2=0 são
s=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2} \;\Rightarrow\;s=-1,\;-2.
As raízes de s^2+6s+25=0 são
s=\frac{-6\pm\sqrt{36-100}}{2} =\frac{-6\pm8i}{2} =-3\pm4i.

Resposta

(a) O sistema é estável, pois todos os termos da primeira coluna da tabela de Routh são positivos.
(b) As raízes são
s=-1,\quad s=-2,\quad s=-3+4i,\quad s=-3-4i.

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