A função de transferência de uma malha de controle com realimentação é dada por:
C(s)R(s)=Kc(3 s+1)(s+1)+Kc
em que Kc é um parâmetro a ser definido pelo projetista.
Relacione Kc com o ganho estático, o período natural de oscilação e o fator de amortecimento da função de transferência.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede.
A gente tem uma função de transferência em malha fechada com realimentação unitária:
C(s)R(s)=Kc(3s+1)(s+1)+Kc
O conteúdo é análise de sistemas de segunda ordem (polinômio característico quadrático) e definição de ganho estático, frequência natural (e período) e fator de amortecimento.
Para resolver, vamos:
  1. escrever o denominador como um ,
  2. extrair ganho estático (ganho em ),
  3. comparar coeficientes pra achar , e o período natural .

Passo 2

Primeiro, ganho estático é simplesmente a saída em regime permanente pra um degrau de amplitude 1, ou seja o valor da TF em Kestático=C(s)R(s)|s=0 =Kc(3cdot0+1)(0+1)+Kc =Kc1+Kc :
á
Isso diz que, quanto maior , mais próximo de 1 fica o ganho em regime permanente.

Passo 3

Agora expande o denominador para achar o polinômio quadrático:
(3s+1)(s+1)+Kc = 3s^2 + (3+1)s + 1 + Kc = 3s^2 + 4s + (1+Kc)
Para comparar com a forma padrão
s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2,
dividimos tudo por 3:
s^2 + 43s + 1+Kc3

Passo 4

Igualando coeficientes, temos:
  1. Tn = 2piomegan = 2piraiz31+Kc
    .

Se quiser o período natural de oscilação (o tempo de um ciclo sem amortecimento),

Resposta

Resumindo a relação entre Kestático = Kc1+Kc e as grandezas pedidas:
Ganho estático:
omegan = raiz1+Kc3 á
Frequência natural de oscilação:
Tn = 2pi raiz31+Kc
Período natural de oscilação:
zeta = 2raiz33raiz1+Kc
Fator de amortecimento:

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