O modelo dinâmico entre uma variável de saída e uma variável de entrada pode ser descrito por:
Para um degrau aplicado em u de magnitude 1,5 , qual é a resposta ?
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um sistema de segunda ordem
e que o sinal de entrada é um degrau de magnitude 1,5 (ou seja ).
O conteúdo que vamos usar é:
- Transformada de Laplace (para tratar a diferença e o atraso facilmente),
- Teorema do deslocamento no tempo (o fator ),
- Frações parciais e inversão de Laplace,
- Conhecimento das raízes do polinômio característico .
Passo 2
Primeiro, admitimos condições iniciais nulas (, ).
Aplicando Laplace em cada termo:
,
,
.
Do lado direito, como e ,
ficamos com
Como o degrau de magnitude 1,5 tem ,
Passo 3
O denominador fatora-se nas raízes
Então
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Para : → .
Para : →
Para : →
Logo
Passo 5
Agora invertendo Laplace e aplicando deslocamento no tempo ( → e substituímos ):
Substituindo e :
onde .
Resposta
Para degrau y(t)= 0,&t<2, 1.5l[-1 + dfrac4r1-1r1raiz5,e^r1(t-2) -dfrac4r2-1r2raiz5,e^r2(t-2)r],&t>=2, , a saída é