O modelo dinâmico entre uma variável de saída y e uma variável de entrada u pode ser descrito por:
d^2 y(t)d^2 t+3 d y(t)d t+y(t)=4 d u(t-2)d t-u(t-2)
Para um degrau aplicado em u de magnitude 1,5 , qual é a resposta y(t)?

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um sistema de segunda ordem
d^2ydt^2 + 3dydt + y(t) ;=; 4,ddt,u(t-2);-;u(t-2)
e que o sinal de entrada é um degrau de magnitude 1,5 (ou seja ).
O conteúdo que vamos usar é:
- Transformada de Laplace (para tratar a diferença e o atraso facilmente),
- Teorema do deslocamento no tempo (o fator ),
- Frações parciais e inversão de Laplace,
- Conhecimento das raízes do polinômio característico .

Passo 2

Primeiro, admitimos condições iniciais nulas ( s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) ;=; l(4s-1r),e^-2s,U(s) , Y(s) =(4s-1),e^-2ss^2+3s+1;times;1,5s =1,5,(4s-1),e^-2ss,(s^2+3s+1) ).
Aplicando Laplace em cada termo:
  • ,
  • ,
  • .
    Do lado direito, como
    e
    ,
    ficamos com
Como o degrau de magnitude 1,5 tem ,

Passo 3

O denominador r1,2 ;=;-3pmraiz9-42 ;=;-3pmraiz52 fatora-se nas raízes
s,(s^2+3s+1) =s,(s-r1)(s-r2)
Então

Passo 4

Fazemos frações parciais em
4s-1s,(s-r1)(s-r2) =As+Bs-r1+Cs-r2
  • Para Y(s) =1,5,e^-2sl[tfracAs+tfracBs-r1+tfracCs-r2r] : .
  • Para :
  • Para :
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Passo 5

Agora invertendo Laplace e aplicando deslocamento no tempo ( y(t) =1.5,1(t-2), l[ A + B,e^r1,(t-2) + C,e^r2,(t-2) r] boxed y(t)= 0,&t<2,[6pt] 1.5,l[ -1 +4r1-1r1raiz5,e^r1(t-2) -4r2-1r2raiz5,e^r2(t-2) r],&t>=2, e substituímos ):
Substituindo e :
onde .

Resposta

Para degrau y(t)= 0,&t<2, 1.5l[-1 + dfrac4r1-1r1raiz5,e^r1(t-2) -dfrac4r2-1r2raiz5,e^r2(t-2)r],&t>=2, , a saída é
com .

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