O modelo dinâmico entre uma variável de saída y e uma variável de entrada u pode ser descrito por:
d^2 y(t)d^2 t+3 d y(t)d t+y(t)=4 d u(t-2)d t-u(t-2)
Esse sistema irá apresentar uma resposta oscilatória após uma mudança arbitrária em u? Justifique.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema dado por
d^2 y(t)d t^2 + 3,d y(t)d t + y(t) ;=; 4,d u(t-2)d t - u(t-2)
O que querem saber é se, quando você muda arbitrariamente a entrada , a saída vai oscilar ou não.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem, resposta homogênea, equação característica e interpretação das raízes.
O que vamos precisar:
  1. Escrever a parte homogênea (ou seja, colocar ).
  2. Montar a equação característica.
  3. Calcular as raízes.
  4. Verificar se são reais ou complexas (só as complexas geram oscilações).

Passo 2

Primeiro, para ver se a saída oscila, a gente olha só para a parte homogênea (sem a entrada). Isso significa zerar o lado direito:
d^2 yhd t^2 + 3,d yhd t + yh = 0
Daí vem a equação característica, que você obtém trocando r^2 + 3r + 1 = 0 por :

Passo 3

Agora usamos a fórmula de Bhaskara (ou quadrática) pra achar as raízes r = -3 pm raiz3^2 - 4cdot1cdot12cdot1 = -3 pm raiz9 - 42 = -3 pm raiz52 :
r1 = -3 + raiz52, r2 = -3 - raiz52
Isso dá dois valores distintos e reais:

Passo 4

Teoria na prática:
  • Se as raízes forem complexas conjugadas ( ), a solução homogênea tem termos tipo e , ou seja, oscilações.
  • Se forem reais, a solução é mistura de decaimentos/exponenciais simples e , sem parte senoidal, logo sem oscilação.
Aqui as duas raízes são reais (não tem parte imaginária), então não rola nenhum termo de seno ou cosseno.

Resposta

Não, o sistema não apresenta resposta oscilatória, pois sua equação característica tem duas raízes reais e distintas ( ), o que gera só amortecimento exponencial e nada de senos ou cossenos.

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