O modelo dinâmico entre uma variável de saída
e uma variável de entrada
pode ser descrito por:
Esse sistema irá apresentar uma resposta oscilatória após uma mudança arbitrária em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema dado por
O que querem saber é se, quando você muda arbitrariamente a entrada
, a saída
vai oscilar ou não.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem, resposta homogênea, equação característica e interpretação das raízes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem, resposta homogênea, equação característica e interpretação das raízes.
O que vamos precisar:
- Escrever a parte homogênea (ou seja, colocar
). - Montar a equação característica.
- Calcular as raízes.
- Verificar se são reais ou complexas (só as complexas geram oscilações).
Passo 2
Primeiro, para ver se a saída oscila, a gente olha só para a parte homogênea (sem a entrada). Isso significa zerar o lado direito:
Daí vem a equação característica, que você obtém trocando
por
:
Passo 3
Agora usamos a fórmula de Bhaskara (ou quadrática) pra achar as raízes
:
Isso dá dois valores distintos e reais:
Passo 4
Teoria na prática:
- Se as raízes forem complexas conjugadas (
), a solução homogênea tem termos tipo e , ou seja, oscilações. - Se forem reais, a solução é mistura de decaimentos/exponenciais simples
e , sem parte senoidal, logo sem oscilação.
Aqui as duas raízes são reais (não tem parte imaginária), então não rola nenhum termo de seno ou cosseno.
Resposta
Não, o sistema não apresenta resposta oscilatória, pois sua equação característica tem duas raízes reais e distintas (
), o que gera só amortecimento exponencial e nada de senos ou cossenos.