A função de transferência de uma malha de controle com realimentação é dada por:
C(s)R(s)=Kc(3 s+1)(s+1)+Kc
em que Kc é um parâmetro a ser definido pelo projetista.
Encontre as faixas de valores para Kc para as quais a resposta é: i) Superamortecida; ii) Criticamente amortecida; iii) Subamortecida; iv) Não amortecida.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de transferência em malha fechada
C(s)R(s) ;=;Kc(3s+1)(s+1)+Kc
e pede pra gente achar pra quais valores de o sistema é:
i) superamortecido ( );
ii) criticamente amortecido ( );
iii) subamortecido ( );
iv) não amortecido ( ).
Conteúdo: classificação de resposta de sistemas de segunda ordem por coeficiente de amortecimento e frequência natural .
O que vamos precisar:
  • Colocar o denominador na forma padronizada .
  • Identificar em função de .
  • Resolver inequações para .

Passo 2

Primeiro expandimos o denominador:
(3s+1)(s+1)+Kc ;=;3s^2+3s+s+1+Kc ;=;3s^2 +4s + (1+Kc)
Então a transferência vira
C(s)R(s) =Kc3s^2 +4s + (1+Kc)

Passo 3

Para comparar com o padrão
omegan^2s^2 +2zetaomegan s + omegan^2,
dividimos tudo por 3 no denominador:
s^2 + 43s + 1+Kc3
Daí reconhecemos:
omegan^2 = 1+Kc3, 2zetaomegan = 43
Logo
omegan = raiz1+Kc3, zeta = tfrac432,omegan = 43,12raiztfrac1+Kc3 = 2raiz3,raiz1+Kc

Passo 4

Superamortecido ( 2raiz3raiz1+Kc > 1 ;Longrightarrow; 2 > raiz3raiz1+Kc ;Longrightarrow; 4 > 3(1+Kc) ;Longrightarrow; Kc < tfrac13 ):

Passo 5

Criticamente amortecido ( 2raiz3raiz1+Kc = 1 ;Longrightarrow; 4 = 3(1+Kc) ;Longrightarrow; Kc = tfrac13 ):

Passo 6

Subamortecido ( 0<2raiz3raiz1+Kc<1 Longrightarrow Kc>tfrac13 ):

Passo 7

Não amortecido ( ):
Para ter precisaríamos
,
o que não acontece para nenhum finito.
No limite a gente teria , mas não há valor finito que zere .

Resposta

i) Superamortecida:
ii) Criticamente amortecida:
iii) Subamortecida:
iv) Não amortecida: não existe finito (apenas quando ).

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