Um processo aquecido eletricamente é conhecido por apresentar uma dinâmica de segunda ordem com os seguintes valores de parâmetros:
. Se o processo inicialmente está em estado estacionário a
com uma entrada do aquecedor de
, e a entrada do aquecedor é subitamente alterada para
e mantida nesse valor:
Derive uma expressão para a temperatura medida como uma função do tempo.
Derive uma expressão para a temperatura medida como uma função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado manda. A gente tem um processo de segunda ordem (aquele modelinho clássico massa-mola-amortecedor, mas aqui é térmico) com:
- ganho estático K=3 °C/kW
- constante de tempo “equivalente” τ=3 min
- razão de amortecimento ζ=0.7
Ele estava em regime permanente a 70 °C quando a potência do aquecedor era 20 kW. De repente a potência sobe para 26 kW e fica lá. A gente precisa achar a temperatura
depois desse degrau.
Conteúdo: resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem. Vamos usar:
- A função de transferência padrão de segunda ordem.
- A fórmula da resposta ao degrau de amplitude ∆U.
- Inversão pra tempo e ajuste de constantes.
Passo 2
Definindo o modelo:
Num sistema de segunda ordem a função de transferência entre entrada e saída
é normalmente escrita assim:
Num sistema de segunda ordem a função de transferência entre entrada
– Aqui o
é o ganho estático (°C/kW),
é uma “escala de tempo” e
diz o quanto o sistema fica oscilatório ou amortecido.
Passo 3
Agora, a entrada sofre um degrau de amplitude
.
Em Laplace isso é . Então a saída em Laplace fica
Em Laplace isso é
A resposta ao degrau de um sistema subamortecido (
) é conhecida:
onde
Isso te dá a variação acima do valor inicial.
Passo 4
Vamos agora meter os números:
-
. -
-
-
E o novo valor em regime permanente vai ser
Portanto a temperatura total é