Um processo aquecido eletricamente é conhecido por apresentar uma dinâmica de segunda ordem com os seguintes valores de parâmetros: K=3^circ C / K W, tau=3 min, zeta=0.7. Se o processo inicialmente está em estado estacionário a 70^circ C com uma entrada do aquecedor de 20 k W, e a entrada do aquecedor é subitamente alterada para 26 k W e mantida nesse valor:
Derive uma expressão para a temperatura medida como uma função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado manda. A gente tem um processo de segunda ordem (aquele modelinho clássico massa-mola-amortecedor, mas aqui é térmico) com:
  • ganho estático K=3 °C/kW
  • constante de tempo “equivalente” τ=3 min
  • razão de amortecimento ζ=0.7
Ele estava em regime permanente a 70 °C quando a potência do aquecedor era 20 kW. De repente a potência sobe para 26 kW e fica lá. A gente precisa achar a temperatura depois desse degrau.
Conteúdo: resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem. Vamos usar:
  1. A função de transferência padrão de segunda ordem.
  2. A fórmula da resposta ao degrau de amplitude ∆U.
  3. Inversão pra tempo e ajuste de constantes.

Passo 2

Definindo o modelo:
Num sistema de segunda ordem a função de transferência entre entrada G(s);=;Y(s)U(s) ;=;Ktau^2,s^2 ;+;2,zeta,tau,s;+;1 e saída é normalmente escrita assim:
– Aqui o é o ganho estático (°C/kW), é uma “escala de tempo” e diz o quanto o sistema fica oscilatório ou amortecido.

Passo 3

Agora, a entrada sofre um degrau de amplitude
Y(s) ;=; G(s);De.
Em Laplace isso é y(t) = K,De. Então a saída em Laplace fica
omegan = 1tau, omegad = omeganraiz1-zeta^2, varphi = arccos(zeta)
A resposta ao degrau de um sistema subamortecido ( ) é conhecida:
onde
Isso te dá a variação acima do valor inicial.

Passo 4

Vamos agora meter os números:
  • T(infty) = 70 + K,De.
  • T(t) = 70 ;+; 18;l[1 - 1raiz1-0.7^2 ,e^-,(1/3),0.7,t, sin!l(tfracraiz0.513,t + arccos(0.7)r)r]
E o novo valor em regime permanente vai ser
Portanto a temperatura total é

Resposta

boxed T(t) ;=; 70 ;+; 18 gl[, 1 ;-;1raiz1-0.7^2 expl(-0.7,tfract3r) sin!l(tfracraiz0.513,t + arccos(0.7)r) gr]

Exercícios relacionados