A função de transferência de um processo é G(S)=1s(s+2)(s+10).
Considerando-se uma realimentação unitária e utilizando-se os critérios de sintonia de Ziegler-Nichols, determine a função de transferência do controlador PID capaz de controlá-lo com um overshoot na faixa de 25 %.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício pede e de onde a gente parte.
Enunciado resumido: temos um processo com função de transferência
G(s) = 1s,(s+2),(s+10)
em malha fechada com realimentação unitária. A ideia é usar o método de sintonia de Ziegler–Nichols para achar um controlador PID que gere um overshoot de cerca de 25 %.
Conteúdo que vamos usar:
  • Critério de Ziegler–Nichols em malha fechada (obtém-se o ganho crítico Kp = 0,6,Ku, Ti = Pu2, Td = Pu8 e o período crítico ).
  • Fórmulas do PID pelo método de Ziegler–Nichols:
O que precisamos fazer na prática:
  1. Achar (frequência em que a fase acumulada é ).
  2. Calcular o ganho crítico via .
  3. Calcular o período crítico .
  4. Aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para obter , e .
  5. Montar a função de transferência do controlador PID.

Passo 2

Encontrar ang<= G(jomega) = -l[,ang<=(jomega) + ang<=(jomega+2) + ang<=(jomega+10)r] tal que a fase de 90^circ + arctan!omega2 + arctan!omega10 = 180^circ Longrightarrow arctan!omega2 + arctan!omega10 = 90^circ seja tan!omega2;tan!omega10 = 1 ;Longrightarrow; omega2,omega10 = 1 ;Longrightarrow; omega^2 = 20 ;Longrightarrow; omegau = raiz20approx 4,472, .
  1. A fase de é
  2. Sabemos , e .
  3. Queremos
  4. Usando a identidade quando , dá

Passo 3

Calcular o ganho crítico l|G(jomegau)r| = 1omegau,raizomegau^2+2^2,raizomegau^2+10^2 = 14,472;times 4,899;times 10,954 approx 0,00417 .
  1. A magnitude de |G(jomegau)|,Ku = 1 Longrightarrow Ku = 1|G(jomegau)| approx 10,00417 approx 240 é Pu = 2piomegau = 2pi4,472 approx 1,405 s
  2. Em Ziegler–Nichols a condição de oscilação sustentada é
  3. O período crítico é

Passo 4

Determinar os parâmetros do controlador PID pelo Ziegler–Nichols:
Kp = 0,6,Ku = 0,6 times 240 = 144, Ti = Pu2 = 1,4052 approx 0,7025 s, Td = Pu8 = 1,4058 approx 0,1756 s

Resposta

A função de transferência do controlador PID fica
GC(s) = Kp!,l(1 + tfrac1Ti,s + Td,sr) = 144!,l(1 + 10,7025,s + 0,1756,sr)
Você também pode escrever no formato racional:
GC(s) = 144;0,1756,s^2 + s + 1/0,7025s approx 25,3,s^2 + 144,s + 205s
E aí está o seu PID sintonia Ziegler–Nichols para aproximadamente 25 % de overshoot!

Exercícios relacionados