G(s)=\frac{K}{(s+3)(s+5)}
$$
a) Mostre que não é possível este sistema operar com um tempo de acomodação de
de segundo e uma porcentagem de overshoot de 1,5% com um simples ajuste de ganho.
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com esta configuração.
c) Projete um compensador capaz de anular o erro em regime permanente do sistema compensado.
a) Mostre que não é possível este sistema operar com um tempo de acomodação de
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com esta configuração.
c) Projete um compensador capaz de anular o erro em regime permanente do sistema compensado.
Passo 1
Resumo da questão:
Temos a planta
Temos a planta
e queremos, em malha fechada com realimentação unitária, tempo de acomodação
Conteúdo: resposta em frequência, fórmula de overshoot de sistemas de 2ª ordem e raiz locus, projeto de compensador lead e introdução de integrador para zerar erro em regime permanente. Vamos precisar da relação
e das condições de ângulo do lugar das raízes.
Passo 2
Calcular
a partir de
:
Depois, de
Os polos desejados são
Passo 3
Verificar se um ganho
faz o lugar das raízes passar por
.
Ângulo total dos polos abertos em :
Ângulo total dos polos abertos em
- Polo em
: - Polo em
:
Soma, logo não está no lugar das raízes.
Conclusão: não dá para ajustar sóe obter esses polos.
Passo 4
Projeto de compensador lead para gerar fase adicional e deslocar o lugar até os polos desejados.
Ângulo em falta:
Ângulo em falta:
Em um compensador lead típico
o avanço máximo de fase é
Isso dá
Assim a zero e polo do compensador ficam em
Portanto
Passo 5
Ajuste do ganho
para condição de módulo
:
No ponto ,
No ponto
Queremos
Podemos, por simplicidade, fixar
e escolher
Passo 6
Agora temos um controlador que garante tempo de acomodação e overshoot desejados:
Passo 7
Para anular o erro em regime permanente a um degrau (tipo zero da planta), precisamos incluir um integrador. Basta multiplicar por
:
Isso torna o sistema de tipo 1, garantindo erro zero a degrau.
Resposta
a) Não é possível só com ganho porque os polos desejados não pertencem ao lugar das raízes de
.
b) Um compensador lead que satisfaz as especificações é
b) Um compensador lead que satisfaz as especificações é
c) Para erro zero em regime permanente, inclua integrador: