G(s)=\frac{K}{(s+3)(s+5)}
$$
a) Mostre que não é possível este sistema operar com um tempo de acomodação de de segundo e uma porcentagem de overshoot de 1,5% com um simples ajuste de ganho.
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com esta configuração.
c) Projete um compensador capaz de anular o erro em regime permanente do sistema compensado.

Passo 1

Resumo da questão:
Temos a planta
G(s)=K(s+3)(s+5)
e queremos, em malha fechada com realimentação unitária, tempo de acomodação Ts=1/3,s e overshoot de 1,5%,.
Conteúdo: resposta em frequência, fórmula de overshoot de sistemas de 2ª ordem e raiz locus, projeto de compensador lead e introdução de integrador para zerar erro em regime permanente. Vamos precisar da relação
Mp=e^ -pizetaraiz1-zeta^2, Tsapprox4zetaomegan
e das condições de ângulo do lugar das raízes.

Passo 2

Calcular zeta a partir de Mp=1,5%=0,015:
ln(0,015)=-pizetaraiz1-zeta^2;Rightarrow;zetaapprox0,80
Depois, de
Ts=4zeta,omegan=13;Rightarrow;omeganapprox 40,8cdot(!1/3!)approx15 rm rad/s
Os polos desejados são
s1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2=-12pm j9

Passo 3

Verificar se um ganho K faz o lugar das raízes passar por s=-12+9j.
Ângulo total dos polos abertos em s=-12+9j:
  • Polo em -3: ang<=(-12+9j+3)=ang<=(-9+9j)=135^circ
  • Polo em -5: ang<=(-12+9j+5)=ang<=(-7+9j)approx128^circ
    Soma =263^circneq180^circ (bmod360), logo não está no lugar das raízes.
    Conclusão: não dá para ajustar só K e obter esses polos.

Passo 4

Projeto de compensador lead para gerar fase adicional e deslocar o lugar até os polos desejados.
Ângulo em falta:
phirm req=180^circ-(135^circ+128^circ)=-83^circ;Rightarrow; +83^circ de avançoç
Em um compensador lead típico
Crm <=ad(s)=Kc1+tau,s1+betatau,s,0
o avanço máximo de fase é
phimax=sin^-11-beta1+betaapprox83^circ
Isso dá betaapprox0,005. A frequência onde o avanço é máximo deve ser omegad=9,rad/s (a parte imaginária dos polos desejados), logo
omegad=1tauraizbeta;Rightarrow;tauapprox19raiz0,005approx1,57,
Assim a zero e polo do compensador ficam em
zc=-1tauapprox-0,636, pc=-1betatauapprox-127,3
Portanto
Crm <=ad(s)=Kcs+0,636s+127,3

Passo 5

Ajuste do ganho Kc para condição de módulo |L(j9)|=1:
No ponto s=j9,
|G(j9)|=K|(j9+3)(j9+5)|=K9,486cdot10,295approxK97,67,
|Crm <=ad(j9)|=Kcraiz9^2+0,636^2raiz9^2+127,3^2approx Kc9,02127,6approx0,0707,Kc
Queremos |G(j9)C(j9)|=1, logo
K97,67times0,0707,Kc=1;Rightarrow;K,Kcapprox1381
Podemos, por simplicidade, fixar K=1 e escolher
Kcapprox1381

Passo 6

Agora temos um controlador que garante tempo de acomodação e overshoot desejados:
Crm <=ad(s)=1381;s+0,636s+127,3

Passo 7

Para anular o erro em regime permanente a um degrau (tipo zero da planta), precisamos incluir um integrador. Basta multiplicar por 1/s:
C(s)=1381;s+0,636s+127,3,1s
Isso torna o sistema de tipo 1, garantindo erro zero a degrau.

Resposta

a) Não é possível só com ganho porque os polos desejados não pertencem ao lugar das raízes de G(s).
b) Um compensador lead que satisfaz as especificações é
Crm <=ad(s)=1381,s+0,636s+127,3
c) Para erro zero em regime permanente, inclua integrador:
C(s)=1381,s+0,636s+127,3,1s

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