a) A função de transferência em malha aberta de sistema de controle de atitude de uma aeronave com realimentação unitária é
erro atual
G(s)=450 J Ks(s+361,2)
Deseja-se que este sistema tenha um erro em regime permanente menor ou igual a 0,000443. Projete um controlador PD para que o sistema tenha uma máxima porcentagem de overshoot de 5% e um tempo de acomodação de 0,005.
b) Como este controlador afeta o comportamento do sistema?
c) Que se poder dizer se fosse colocado um controlador em avanço de fase no lugar do PD?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um sistema em malha aberta
G(s)=450,J,Ks,(s+361,2)
com realimentação unitária, e queremos:
1) erro em regime permanente ≤0,000443 (pra qual tipo de entrada a gente assume rampa, já que pra degrau o sistema é tipo 1 e o erro seria zero);
2) overshoot máximo de 5%;
3) tempo de acomodação (2%) de 0,005 s.
Isso é tudo de teoria de sistemas de controle clássico: a gente vai usar constante de erro de rampa ( Kv), fórmula do overshoot pra achar zeta, fórmula do settling time pra achar omegan e depois projetar o controlador PD
D(s)=Kp+Kd,s
para fechar a malha.

Passo 2

Primeiro: erro em regime permanente para rampa.
– Pra rampa, ess = 1Kv, onde
Kv=limsto0s,G(s),D(s),
– Aqui G(s)D(s)=dfrac450JK,(Kp+Kd s)s(s+361,2), então
s,G(s)D(s)=450JK,(Kp+Kd s)s+361,2,xrightarrow[sto0] 450JK,Kp361,2,
Logo
Kv=450,J,K,Kp361,2Longrightarrow ess=1Kv=361,2450,J,K,Kp<=0,000443,
Desse requisito sai
Kp>=361,2450,J,K,(0,000443)approx815513J,K,

Passo 3

Agora o overshoot ≤5%. A fórmula que liga máximo overshoot Mp a zeta é
Mp=e^-pizetaraiz1-zeta^2<=0,05,
Resolvendo dá zetaapprox0,69, (você pode usar tabelinha ou a inversa).

Passo 4

Tempo de acomodação (2%) é
tsapprox4zeta,omegan<=0,005;Longrightarrow;omegan>=40,69cdot0,005approx1159 rad/s,

Passo 5

Para fechar a malha com D(s)=Kp+Kd s, o polinômio característico é
1+G(s)D(s)=0 Longrightarrow s^2+(361,2+450,J,K,Kd),s+450,J,K,Kp=0,
A forma padrão é
s^2+2zetaomegan,s+omegan^2=0,
Comparando os coeficientes:
  1. coeficiente de s
361,2+450,J,K,Kd=2,zeta,omegan;;Longrightarrow;;Kd=2zetaomegan-361,2450,J,K,
2) termo independente
450,J,K,Kp=omegan^2;;Longrightarrow;;Kp=omegan^2450,J,K,

Passo 6

A gente já tem
Kp>=815513J,K
e também da dinâmica
Kp=(1159)^2450,J,Kapprox1,343times10^6450,J,Kapprox2984J,K,
Como 2984/(J,K)>!815513/(J,K), o valor que satisfaz as duas é
Kp=2984J,K,
E para Kd
Kd=2cdot0,69cdot1159-361,2450,J,Kapprox1238,8450,J,Kapprox2,75J,K,

Resposta

Para o controlador PD que garante erro de rampa ≤0,000443, Mp<=5% e ts<=0,005,s, obtemos (mantendo J,K simbólico):
boxedKp=2984J,Ke Kd=2,75J,K,
b) Esse PD aumenta o ganho proporcional (reduzindo o erro) e adiciona derivada (que dá mais amortecimento e atrasa menos o pico), logo melhora overshoot e tempo de resposta.
c) Um compensador avanço de fase é parecido: ele insere um zero e um polo mais à direita do zero, gerando “phase lead” sem amplificar tanto em alta frequência como o termo puro s do PD. Ele também melhora amortecimento e velocidade, mas com um pouco menos de ruído em altas frequências.

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