A função de transferência de um sistema com realimentação unitária é
a) Projete um controlador que assegure ao sistema um fator de amortecimento de 0,45 e uma constante de erro de velocidade igual a 20.
b) Qual o controlador deveria ser utilizado se se quisesse anular o erro em regime permanente deste sistema? justifique a resposta.
c) Qual a diferença entre um controlador em avanço de fase e um controlador PD?
b) Qual o controlador deveria ser utilizado se se quisesse anular o erro em regime permanente deste sistema? justifique a resposta.
c) Qual a diferença entre um controlador em avanço de fase e um controlador PD?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que está rolando aqui.
Enunciado: temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária e função de transferência em malha aberta
Enunciado: temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária e função de transferência em malha aberta
Precisamos:
a) Projetar um controlador que garanta fator de amortecimento ζ=0,45 e constante de erro de velocidade .
b) Dizer qual controlador anularia o erro em regime permanente (pra rampa).
c) Explicar a diferença entre controlador avanço de fase e um controlador PD.
a) Projetar um controlador que garanta fator de amortecimento ζ=0,45 e constante de erro de velocidade
b) Dizer qual controlador anularia o erro em regime permanente (pra rampa).
c) Explicar a diferença entre controlador avanço de fase e um controlador PD.
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas de controle linear (tipo do sistema, constantes de erro, equação característica, fator de amortecimento), projeto por colocação de polos (igualando coeficientes), e diferença entre controladores PD vs avanço de fase.
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, bora lembrar alguns conceitos:
- Tipo do sistema e constante de erro de velocidade
: - Nosso sistema sem compensador é do tipo 1 (um polo na origem), então para um sinal rampa
o erro permanente é . - A constante
se define como
- Nosso sistema sem compensador é do tipo 1 (um polo na origem), então para um sinal rampa
- Fator de amortecimento ζ e raízes de uma equação característica de 2º grau:
- Se a característica fechada for
, então as raízes têm amortecimento ζ e frequência natural .
- Se a característica fechada for
No nosso projeto vamos usar um controlador PD simples:
Passo 3
Vamos escrever o LGR (laço aberto) com esse PD:
A equação característica em malha fechada é
Ou seja
E queremos que isso seja igual a
Passo 4
- Primeiro a constante de erro de velocidade
: - Igualando
, vem - Agora
: - E de
tiramos
Logo, o controlador PD será
Passo 5
Parte (b): “Qual controlador zera o erro em regime permanente?”
- Para um sistema tipo 1 (um integrador) o erro para rampa é finito (
), não zero. Para zerar o erro em rampa a gente precisa de tipo 2 (dois integradores). - Ou seja, usar um controlador que inclua um pólo em zero (um integrador extra), por exemplo um PI ou PID com polo em s=0:
Isso soma mais um integrador e garante erro zero para rampa.
Passo 6
Parte ©: diferença entre avanço de fase e PD
- Controlador PD puro é
: só um ganho, um zero e nenhum polo extra (tirando o da planta). - Avanço de fase (lead compensator) é
ou seja tem um zero e um polo, ambos reais, mas o polo está “mais à direita” (frequência maior) do que o zero. Isso dá ganho de fase num certo intervalo de frequência e suaviza a resposta de alta frequência. - Em resumo: PD dá ganho de fase mas cresce indefinidamente com frequência (ruído!), já o lead dá ganho de fase num faixa limitada e tem atenuação em altas frequências (por causa do polo).
Resposta
a) Controlador PD:
b) Para zerar o erro em regime permanente de rampa, usa-se um controlador do tipo PI (ou PID) com um integrador extra, por exemplo
c) Diferença PD vs avanço de fase:
- PD tem só um zero e ganho que cresce com frequência (pode amplificar ruído).
- Lead (avanço de fase) tem um zero e um polo (
), proporciona ganho de fase num banda definida e atenua altas frequências.