A função de transferência de um sistema com realimentação unitária é
G(s)=Ks(s+5)
a) Projete um controlador que assegure ao sistema um fator de amortecimento de 0,45 e uma constante de erro de velocidade igual a 20.
b) Qual o controlador deveria ser utilizado se se quisesse anular o erro em regime permanente deste sistema? justifique a resposta.
c) Qual a diferença entre um controlador em avanço de fase e um controlador PD?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que está rolando aqui.
Enunciado: temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária e função de transferência em malha aberta
G(s) ;=;Ks(s+5)
Precisamos:
a) Projetar um controlador que garanta fator de amortecimento ζ=0,45 e constante de erro de velocidade .
b) Dizer qual controlador anularia o erro em regime permanente (pra rampa).
c) Explicar a diferença entre controlador avanço de fase e um controlador PD.
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas de controle linear (tipo do sistema, constantes de erro, equação característica, fator de amortecimento), projeto por colocação de polos (igualando coeficientes), e diferença entre controladores PD vs avanço de fase.

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, bora lembrar alguns conceitos:
  1. Tipo do sistema e constante de erro de velocidade Kv ;=;limsto0 s,Gol(s);=;limsto0 s,C(s),Ks(s+5) =K,C(0)5, :
    • Nosso sistema sem compensador é do tipo 1 (um polo na origem), então para um sinal rampa C(s)=Kc,(1+Td,s) o erro permanente é .
    • A constante se define como
  2. Fator de amortecimento ζ e raízes de uma equação característica de 2º grau:
    • Se a característica fechada for , então as raízes têm amortecimento ζ e frequência natural .
No nosso projeto vamos usar um controlador PD simples:

Passo 3

Vamos escrever o LGR (laço aberto) com esse PD:
L(s)=C(s),Ks(s+5) =Kc,(1+Td s),Ks(s+5)
A equação característica em malha fechada é
1+L(s)=0 ;Longrightarrow; s(s+5)+Kc,K,(1+Td,s)=0
Ou seja
s^2 +5s +Kc K Td,s +Kc K =0 ;Longrightarrow; s^2 +(5+Kc K Td),s +Kc K =0
E queremos que isso seja igual a
s^2+2zetaomegan,s+omegan^2=0 com zeta=0,45

Passo 4

  1. Primeiro a constante de erro de velocidade Kv=K,C(0)5 =K,Kc5 =20 ;Longrightarrow; K,Kc=100 : omegan^2=100 ;Longrightarrow; omegan=10
  2. Igualando 2cdot0,45cdot10 =9 =5 + 100,Td ;Longrightarrow; 100,Td=4 ;Longrightarrow; Td=0,04 s , vem Kc=100K
  3. Agora C(s) = Kc,(1+Td s) = 100Kl(1+0,04,sr) :
  4. E de tiramos
Logo, o controlador PD será

Passo 5

Parte (b): “Qual controlador zera o erro em regime permanente?”
  • Para um sistema tipo 1 (um integrador) o erro para rampa é finito ( Crm PI(s)=Kpl(1+1Ti sr) =Kp(Ti s+1)Ti s ), não zero. Para zerar o erro em rampa a gente precisa de tipo 2 (dois integradores).
  • Ou seja, usar um controlador que inclua um pólo em zero (um integrador extra), por exemplo um PI ou PID com polo em s=0:
Isso soma mais um integrador e garante erro zero para rampa.

Passo 6

Parte ©: diferença entre avanço de fase e PD
  • Controlador PD puro é Crm <=ad(s)=K;1+T s1+alpha T s, 0: só um ganho, um zero e nenhum polo extra (tirando o da planta).
  • Avanço de fase (lead compensator) é ou seja tem um zero e um polo, ambos reais, mas o polo está “mais à direita” (frequência maior) do que o zero. Isso dá ganho de fase num certo intervalo de frequência e suaviza a resposta de alta frequência.
  • Em resumo: PD dá ganho de fase mas cresce indefinidamente com frequência (ruído!), já o lead dá ganho de fase num faixa limitada e tem atenuação em altas frequências (por causa do polo).

Resposta

a) Controlador PD:
C(s)=100Kl(1+0,04,sr)
b) Para zerar o erro em regime permanente de rampa, usa-se um controlador do tipo PI (ou PID) com um integrador extra, por exemplo
Crm PI(s)=Kp(Ti s+1)Ti s
c) Diferença PD vs avanço de fase:
  • PD tem só um zero e ganho que cresce com frequência (pode amplificar ruído).
  • Lead (avanço de fase) tem um zero e um polo ( ), proporciona ganho de fase num banda definida e atenua altas frequências.

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