Se uma função vetorial
for só uma função de
, ou seja,
, mostre que
Faça os cálculos em coordenadas cartesianas e esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se temos uma função vetorial
que depende apenas de
, ou seja,
, então:
Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente (
) e gradiente (
), em coordenadas cartesianas e esféricas. Vamos precisar lembrar como essas operações são definidas em cada sistema de coordenadas.
Passo 2
Vamos começar fazendo os cálculos em coordenadas cartesianas. Nessa grade, qualquer vetor
pode ser escrito como:
E a magnitude de
é:
Dado que
depende apenas de
, podemos expressá-la como:
Para simplificar, assumimos que
está na direção de
, ou seja:
Agora, vamos calcular o divergente de
:
Substituindo
na expressão acima:
Vamos derivar cada termo. Usando a regra do produto:
Sabemos que:
E:
Fazendo similar para os termos em
e
, somando tudo, obtemos:
Simplificando, já que
:
Para que
, precisamos que
seja proporcional a
. Contudo, no contexto geral, isso nos leva a considerar que a expressão pode ser simplificada usando a direção de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da magnitude de
, ou seja,
.
Primeiro, calculamos
:
Então, o gradiente é:
Sabemos que:
Portanto:
Que é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 4
Agora, vamos repetir o processo, mas em coordenadas esféricas. Nesse sistema, o vetor posição é dado por
, onde:
-
é a distância ao origem, -
é o ângulo polar, -
é o ângulo azimutal.
A função vetorial
que depende apenas de
pode ser escrita como:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.
Primeiro, calculamos o divergente em coordenadas esféricas:
Como
depende apenas de
, os termos envolvendo
e
são zero. Portanto:
Que coincide com o que obtivemos em coordenadas cartesianas.
Para o gradiente da magnitude de
:
Isso confirma novamente que:
Resposta
Mostramos que, tanto em coordenadas cartesianas quanto esféricas, para uma função vetorial
que depende apenas de
, temos: