A função y=f(x) é de classe C^(1), e sabe-se que f(1)=2, f(2)=4 e integral1^2 x f^prime(x) d x=3.
O valor da integral integral1^2 f(x) d x é

Passo 1

Este exercício envolve integração e uso de integração por partes. Sabemos que f é de classe C^(1), que f(1)=2, f(2)=4 e que integral1^2x,f'(x),dx=3. Nosso objetivo é calcular integral1^2f(x),dx.

Passo 2

Para tratar integral x,f'(x),dx, vamos usar a fórmula de integração por partes. Escolhemos u=x e dv=f'(x),dx. Então du=dx e v=f(x). A fórmula diz
integral x,f'(x),dx = x,f(x) - integral f(x),dx

Passo 3

Agora avaliamos essa expressão no intervalo de 1 a 2:
integral1^2x,f'(x),dx = l[x,f(x)r]1^2 - integral1^2f(x),dx

Passo 4

Usando f(2)=4 e f(1)=2 no termo de contorno, temos
l[x,f(x)r]1^2 = 2cdot4 - 1cdot2 = 8 - 2 = 6,
logo
integral1^2x,f'(x),dx = 6 - integral1^2f(x),dx

Passo 5

Como nos foi dado que integral1^2x,f'(x),dx = 3, igualamos:
6 - integral1^2f(x),dx = 3
Logo,
integral1^2f(x),dx = 6 - 3 = 3

Resposta

3

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